Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Và \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

( dấu '=' xảy ra khi a=b)

Áp dụng các bđt trên ta có

\(x^3+y^3+4\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)=x^3+y^3+4x^2+4y^2+4x+4y=x^3+4x^2+4x+y^3+4y^2+4y=x\left(x^2+4x+4\right)+y\left(y^2+4y+4\right)=x\left(x+2\right)^2+y\left(y+2\right)^2\ge x.8x+y.8y=8\left(x^2+y^2\right)\ge8.2xy=16xy\Leftrightarrow x^3+y^3+4\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)\ge16\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=2

Vậy (x;y)=(2;2)

Bạn tham khảo cách giải:

Bạn tham khảo cách giải: 

a: \(4x^3-36x\)

\(=4x\cdot x^2-4x\cdot9\)

\(=4x\left(x^2-9\right)=4x\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

b:Sửa đề: \(4x^3-y^3+4x^2y-xy^2\)

\(=4x^2\left(x+y\right)-y^2\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(4x^2-y^2\right)=\left(x+y\right)\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)\)

c: \(a^2+2ab-5a-10b\)

=a(a+2b)-5(a+2b)

=(a+2b)(a-5)

d: \(\left(x+1\right)^3-27\)

\(=\left(x+1\right)^3-3^3\)

\(=\left(x+1-3\right)\left\lbrack\left(x+1\right)^2+3\left(x+1\right)+3^2\right\rbrack\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+1+3x+3+9\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x^2-5x+13\right)\)

e: \(4xy^2-4x^2y-y^3\)

\(=y\cdot4xy-y\cdot4x^2-y\cdot y^2\)

\(=-y\left(4x^2-4xy+y^2\right)=-y\left(2x-y\right)^2\)

f: \(\left(5x-y\right)^2-\left(x-2y\right)^2\)

=(5x-y-x+2y)(5x-y+x-2y)

=(4x+y)(6x-3y)

=3(2x-y)(4x+y)

g: \(x^3+2x^2+x-16xy^2\)

\(=x\left(x^2+2x+1-16y^2\right)\)

\(=x\left\lbrack\left(x+1\right)^2-\left(4y\right)^2\right\rbrack\)

=x(x+1-4y)(x+1+4y)

Lời giải:

Ta có:

$x+y=0-4=-4$

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(-4)^2-2xy=16-2xy$

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=(-4)^3-3xy(-4)=12xy-64$

Do đó:

$P=2(12xy-64)+3(16-2xy)+16xy=34xy-80=34x(-4-x)-80$

$=-34x^2-136x-80$

Nếu không có thêm điều kiện gì thì biểu thức $P$ không có GTNN bạn nhé.

a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)

=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)

=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)

=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)

=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)

TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)

=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)

=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)

=>Loại

TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)

=>(y+3)(y-2)=0

=>y=-3 hoặc y=2

Nếu y=-3 thì x-y+1=3

=>x-y=2

=>x-(-3)=2

=>x+3=2

=>x=-1

Nếu y=2 thì x-y+1=3

=>x-2+1=3

=>x-1=3

=>x=4

TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)

=>y∈∅

=>Loại

wdwwđwdsswsw