Bài 1:

1: \(y=\frac{\sin x+2\cdot cosx+1}{2\cdot\sin x+cosx+3}\)

=>\(2y\cdot\sin x+y\cdot cosx+3y=\sin x+2\cdot cosx+1\)

=>\(\left(2y-1\right)\cdot\sin x+cosx\cdot\left(y-2\right)=1-3y\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\left(2y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2>=\left(1-3y\right)^2\)

=>\(4y^2-4y+1+y^2-4y+4\ge9y^2-6y+1\)

=>\(5y^2-8y+5-9y^2+6y-1\ge0\)

=>\(-4y^2-2y+4\ge0\)

=>\(y^2+\frac12y-1\le0\)

=>\(y^2+2\cdot y\cdot\frac14+\frac{1}{16}-\frac{17}{16}\le0\)

=>\(\left(y+\frac14\right)^2\le\frac{17}{16}\)

=>\(-\frac{\sqrt{17}}{4}\le y+\frac14\le\frac{\sqrt{17}}{4}\)

=>\(\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\le y\le\frac{\sqrt{17}-1}{4}\)

=>\(y_{\min}=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\) và \(y_{\max}=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\)

2: \(y=2\cdot\sin^2x-3\cdot\sin x\cdot cosx+cos^2x\)

\(=2\cdot\frac{1-cos2x}{2}-3\cdot\frac12\cdot\sin2x+\frac{1+cos2x}{2}\)

\(=1-cos2x-\frac32\cdot\sin2x+\frac12+\frac12\cdot cos2x\)

\(=-\frac32\cdot\sin2x-\frac12\cdot cos2x+\frac32=-\frac12\left(3\cdot\sin2x+cos2x-3\right)\)

\(=-\frac{\sqrt{10}}{2}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\sin2x+\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot cos2x-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\)

\(=-\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\left\lbrack\sin\left(2x+\alpha\right)-\frac{3}{\sqrt{10}}\right\rbrack\) , với \(cosa=\frac{3}{\sqrt{10}};\sin a=\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(=-\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\sin\left(2x+\alpha\right)+\frac32\)

Ta có: \(-1\le\sin\left(2x+a\right)\le1\)

=>\(-1\cdot\frac{-\sqrt{10}}{2}\ge\frac{-\sqrt{10}}{2}\sin\left(2x+a\right)\ge1\cdot\frac{-\sqrt{10}}{2}\)

=>\(\frac{-\sqrt{10}}{2}\le\frac{-\sqrt{10}}{2}\cdot\sin\left(2x+a\right)\le\frac{\sqrt{10}}{2}\)

=>\(\frac{-\sqrt{10}}{2}+\frac32\le\frac{-\sqrt{10}}{2}\cdot\sin\left(2x+a\right)+\frac32\le\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac32\)

=>\(y_{\min}=\frac{-\sqrt{10}+3}{2};y_{\max}=\frac{\sqrt{10}+3}{2}\)

a: \(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{cosx}=4\cdot\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

=>\(\frac{\sin x+cosx}{\sin x\cdot cosx}=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(\sin x+cosx\right)\)

=>\(\left(\sin x+cosx\right)\left(\frac{1}{\sin x\cdot cosx}-2\sqrt2\right)=0\)

TH1: \(\frac{1}{\sin x\cdot cosx}-2\sqrt2=0\)

=>\(\frac{1}{\sin x\cdot cosx}=2\sqrt2\)

=>\(sinx\cdot cosx=\frac{1}{2\sqrt2}\)

=>\(2\cdot\sin x\cdot cosx=\frac{1}{\sqrt2}\)

=>\(\sin2x=\frac{1}{\sqrt2}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ 2x=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{8}+k\pi\\ x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\end{array}\right.\)

TH2: sin x+cosx=0

=>\(\sqrt2\cdot\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\)

=>\(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\)

=>\(x+\frac{\pi}{4}=k\pi\)

=>\(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\)

d/

Nhận thấy \(cosx=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^2x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}\left(tanx+1\right)=\frac{3}{cos^2x}+2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}tanx+2\sqrt{2}=3\left(1+tan^2x\right)+2\)

\(\Leftrightarrow3tan^2x-2\sqrt{2}tanx+5-2\sqrt{2}=0\)

Pt vô nghiệm

c/

\(\Leftrightarrow1-sin^2x+\sqrt{3}sinx.cosx-1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sinx.cosx-sin^2x=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(\sqrt{3}cosx-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\\sqrt{3}cosx=sinx\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\tanx=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)

đề câu 1 đúng r

ngại viết quá hihi, mà hơi ngáo tí cái dạng này lm rồi mà cứ quên

bài trước mk bình luận bạn đọc chưa nhỉ

\(sinx+cosx=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(sinx+cosx\right)^2=\frac{1}{4}\Rightarrow sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow2sinx.cosx=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}\Rightarrow sinx.cosx=-\frac{3}{8}\)

Vậy ta có:

\(sin^3x+cos^3x=\left(sinx+cosx\right)\left[\left(sinx+cosx\right)^2-3sinx.cosx\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{9}{8}\right)=\frac{11}{16}\)

Bài 2: Mục đích của bài này là gì bạn? Ko thấy yêu cầu?

Bài 3:

\(tanx+cotx=2\Rightarrow\left(tanx+cotx\right)^2=4\)

\(\Rightarrow tan^2x+2tanx.cotx+cot^2x=4\Rightarrow tan^2x+cot^2x+2=4\)

\(\Rightarrow tan^2x+cot^2x=2\)

Câu 2 yêu cầu tính P

3) 2sin^2 x - 3sinx + 1 = 0

Đặt t = sin x

(*) <=> 2t^2 - 3t + 1 = 0

<=> t = 1 (nhận) or t = 1/2 (nhận)

.Vs t = 1 => sinx = 1

<=> x = π/2 + k2π (k thuộc Z) (nhận)

.Vs t = 1/2 => sinx = 1/2

<=> sinx = sin π/6

<=> x = π/6 + k2π (k thuộc Z) (nhận)

Vậy ...

2) cos^2 x + cosx = 0

Đặt t = cosx

(*) <=> t^2 + t =0 <=> t = 0 (n) or t = -1 (n)

. Vs t = 0 => cosx = 0 <=> x = π/2 + kπ (loại)

.Vs t = -1 => cosx = -1 <=> x = π + k2π (nhận)

Vậy ...

1) (sin3x)/cosx + 1 = 0

ĐK: cosx + 1 ≠ 0 <=> cosx ≠ -1 <=> x ≠ π + k2π

<=> sin3x = 0

<=> 3x = kπ

<=> x = 1/3 kπ (k thuộc Z) (n)

Vậy ...

1. \(pt\Leftrightarrow \tan 2x(1-\cos 2x)-(1-\cos 2x)=0\Leftrightarrow (\tan 2x-1)(1-\cos 2x)=0\)

2. Đặt \(t=\sin x+\cos x\Rightarrow t^2=1+2\sin x.\cos x\) thay vào phương trình ta được

\(t-3(t^2-1)=1\Leftrightarrow 3t^2-t-2=0\)