1: Gọi (d1) là ảnh của (d) qua phép quay \(Q\left(O;90^0\right)\)

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+y+c=0

Lấy A(1;1) thuộc (d). Gọi A'(x;y) là ảnh của A qua phép quay \(Q\left(O;90^0\right)\)

Tọa độ A' là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=-1\\ y_{A^{\prime}}=x_{A}=1\end{cases}\)

=>A'(-1;1)

THay x=-1 và y=1 vào (d1), ta được:

3*(-1)+1+c=0

=>c-3+1=0

=>c-2=0

=>c=2

=>(d1): 3x+y+2=0

(d') là ảnh của (d1) qua phép vị tự V(O;2)

=>(d'): 3x+y+c=0

Lấy B(1;-5) thuộc (d1)

Lấy B'(x;y) là ảnh của (d1) qua phép vị tự V(O;2)

=>\(\overrightarrow{OB^{\prime}}=2\cdot\overrightarrow{OM}\)

=>\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=2\cdot1=2\\ y_{B^{\prime}}=2\cdot\left(-5\right)=-10\end{cases}\)

=>B'(2;-10)

Thay x=2 và y=-10 vào (d'), ta được:

3*2+(-10)+c=0

=>c+6-10=0

=>c-4=0

=>c=4

Vậy: (d'): 3x+y+4=0

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow2x+3y+4=0\Leftrightarrow2.2x+3.2y+8=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép quay Q

\(\Rightarrow M'\in d'\) với d' là ảnh của d qua phép quay Q

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=2+\left(x-2\right)cos45^0-\left(y-1\right)sin45^0\\y'=1+\left(x-2\right)sin45^0+\left(y-1\right)cos45^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\sqrt{2}x'-2\sqrt{2}+1\\x+y=\sqrt{2}y'-\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=\sqrt{2}\left(x'+y'\right)-3\sqrt{2}+4\\2y=\sqrt{2}\left(y'-x'\right)+\sqrt{2}+2\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\Rightarrow2\sqrt{2}\left(x'+y'\right)-6\sqrt{2}+8+3\sqrt{2}\left(y'-x'\right)+3\sqrt{2}+6+8=0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}x'+5\sqrt{2}y'+22-3\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x'-5y'+3-11\sqrt{2}=0\)

Hay pt d' có dạng: \(x-5y+3-11\sqrt{2}=0\)

a:Tọa độ A' là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=-2\\ y_{A^{\prime}}=x_{A}=1\end{cases}\)

=>A'(-2;1)

Tọa độ A'' là ảnh của A' qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\) là:

\(\begin{cases}x=\left(-2\right)+\left(-3\right)=-5\\ y=1+1=2\end{cases}\)

=>A''(-5;2)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 2x-3y+1=0 qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+2y+c=0

Lấy B(1;1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=-y_{B}=-1\\ y_{B^{\prime}}=x_{B}=1\end{cases}\)

THay x=-1 và y=1 vào (d1), ta được:

3*(-1)+2*1+c=0

=>-3+2+c=0

=>c-1=0

=>c=1

=>(d1): 3x+2y+1=0

Gọi (d2): ax+by+c=0 là ảnh của (d1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>(d2)//(d1)

=>(d2): 3x+2y+c=0

Tọa độ B'' là ảnh của B'(-1;1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\) là:

\(\begin{cases}x=\left(-1\right)+\left(-3\right)=-4\\ y=1+1=2\end{cases}\)

THay x=-4 và y=2 vào (d2), ta được:

3*(-4)+2*2+c=0

=>c-12+4=0

=>c-8=0

=>c=8

=>(d2): 3x+2y+8=0

b: Gọi B(x;y) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>A(1;2) là ảnh của B(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

Do đó, ta có: \(\begin{cases}x+\left(-3\right)=1\\ y+1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=4\\ y=1\end{cases}\)

=>B(4;1)

B(4;1) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x_{B}=y_{M}\\ y_{B}=-x_{M}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{M}=x_{B}=4\\ x_{M}=-y_{B}=-1\end{cases}\)

=>M(4;-1)