1: Gọi (d1) là ảnh của (d) qua phép quay \(Q\left(O;90^0\right)\)

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+y+c=0

Lấy A(1;1) thuộc (d). Gọi A'(x;y) là ảnh của A qua phép quay \(Q\left(O;90^0\right)\)

Tọa độ A' là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=-1\\ y_{A^{\prime}}=x_{A}=1\end{cases}\)

=>A'(-1;1)

THay x=-1 và y=1 vào (d1), ta được:

3*(-1)+1+c=0

=>c-3+1=0

=>c-2=0

=>c=2

=>(d1): 3x+y+2=0

(d') là ảnh của (d1) qua phép vị tự V(O;2)

=>(d'): 3x+y+c=0

Lấy B(1;-5) thuộc (d1)

Lấy B'(x;y) là ảnh của (d1) qua phép vị tự V(O;2)

=>\(\overrightarrow{OB^{\prime}}=2\cdot\overrightarrow{OM}\)

=>\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=2\cdot1=2\\ y_{B^{\prime}}=2\cdot\left(-5\right)=-10\end{cases}\)

=>B'(2;-10)

Thay x=2 và y=-10 vào (d'), ta được:

3*2+(-10)+c=0

=>c+6-10=0

=>c-4=0

=>c=4

Vậy: (d'): 3x+y+4=0

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow2x+3y+4=0\Leftrightarrow2.2x+3.2y+8=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép quay Q

\(\Rightarrow M'\in d'\) với d' là ảnh của d qua phép quay Q

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=2+\left(x-2\right)cos45^0-\left(y-1\right)sin45^0\\y'=1+\left(x-2\right)sin45^0+\left(y-1\right)cos45^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\sqrt{2}x'-2\sqrt{2}+1\\x+y=\sqrt{2}y'-\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=\sqrt{2}\left(x'+y'\right)-3\sqrt{2}+4\\2y=\sqrt{2}\left(y'-x'\right)+\sqrt{2}+2\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\Rightarrow2\sqrt{2}\left(x'+y'\right)-6\sqrt{2}+8+3\sqrt{2}\left(y'-x'\right)+3\sqrt{2}+6+8=0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}x'+5\sqrt{2}y'+22-3\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x'-5y'+3-11\sqrt{2}=0\)

Hay pt d' có dạng: \(x-5y+3-11\sqrt{2}=0\)

Gọi A(1;1) thuộc (d) và B(2;0) thuộc (d)

Gọi A'(x;y) là ảnh của A(1;1) qua phép quay tâm O, góc quay 45 độ

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}x=1\cdot cos45-1\cdot\sin45=0\\ y=1\cdot\sin45+1\cdot cos45=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\end{cases}\)

=>\(A^{\prime}\left(0;\sqrt2\right)\)

Gọi B'(x;y) là ảnh của B(2;0) qua phép quay tâm O, góc quay 45 độ

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x=2\cdot cos45-0\cdot\sin45=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\\ y=2\cdot\sin45+0\cdot cos45=\sqrt2\end{cases}\)

=>\(B^{\prime}\left(\sqrt2;\sqrt2\right)\)

\(\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\left(\sqrt2-0;\sqrt2-\sqrt2\right)=\left(\sqrt2;0\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là \(\left(0;-\sqrt2\right)\)

Phương trình A'B' là:

\(0\left(x-\sqrt2\right)+\sqrt2\left(y-\sqrt2\right)=0\)

=>\(\sqrt2\left(y-\sqrt2\right)=0\)

=>\(y-\sqrt2=0\)

=>\(y=\sqrt2\)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 4x-3y+12=0 qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+4y+c=0

Lấy A(3;8) thuộc (d)

Lấy B(x;y) là ảnh của A(3;8) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Tọa độ B là;

\(\begin{cases}x_{B}=-y_{A}=-8\\ y_{B}=x_{A}=3\end{cases}\)

Thay x=-8 và y=3 vào (d1), ta được:

3*(-8)+4*3+c=0

=>-24+12+c=0

=>c-12=0

=>c=12

=>(d1): 3x+4y+12=0

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): x-3y+6=0 qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\)

=>(d1)//(d)

=>(d1): x-3y+c=0

Lấy A(0;2) thuộc (d)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(0;2) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(1;2\right)\) là:

x=0+1=1 và y=2+2=4

Thay x=1 và y=4 vào (d1), ta được:

1-3*4+c=0

=>1-12+c=0

=>c=11

=>(d1): x-3y+11=0

Gọi (d2) là ảnh của (d1): x-3y+11=0 qua phép quay tâm O, góc quay -pi/2

=>(d2)⊥(d1)

=>(d2): 3x+y+c=0

Lấy B(1;4) thuộc (d1)

Tọa độ B'(x;y) là ảnh của B(1;4) qua phép quay tâm O, góc quay -pi/2 là:

\(\begin{cases}x=y_{B}=4\\ y=-x_{B}=-1\end{cases}\)

Thay x=4 và y=-1 vào (d2), ta được:

3*4-1+c=0

=>12-1+c=0

=>c+11=0

=>c=-11

=>(d2): 3x+y-11=0

a:Tọa độ A' là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=-2\\ y_{A^{\prime}}=x_{A}=1\end{cases}\)

=>A'(-2;1)

Tọa độ A'' là ảnh của A' qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\) là:

\(\begin{cases}x=\left(-2\right)+\left(-3\right)=-5\\ y=1+1=2\end{cases}\)

=>A''(-5;2)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 2x-3y+1=0 qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): 3x+2y+c=0

Lấy B(1;1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=-y_{B}=-1\\ y_{B^{\prime}}=x_{B}=1\end{cases}\)

THay x=-1 và y=1 vào (d1), ta được:

3*(-1)+2*1+c=0

=>-3+2+c=0

=>c-1=0

=>c=1

=>(d1): 3x+2y+1=0

Gọi (d2): ax+by+c=0 là ảnh của (d1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>(d2)//(d1)

=>(d2): 3x+2y+c=0

Tọa độ B'' là ảnh của B'(-1;1) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\) là:

\(\begin{cases}x=\left(-1\right)+\left(-3\right)=-4\\ y=1+1=2\end{cases}\)

THay x=-4 và y=2 vào (d2), ta được:

3*(-4)+2*2+c=0

=>c-12+4=0

=>c-8=0

=>c=8

=>(d2): 3x+2y+8=0

b: Gọi B(x;y) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>A(1;2) là ảnh của B(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

Do đó, ta có: \(\begin{cases}x+\left(-3\right)=1\\ y+1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=4\\ y=1\end{cases}\)

=>B(4;1)

B(4;1) là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x_{B}=y_{M}\\ y_{B}=-x_{M}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{M}=x_{B}=4\\ x_{M}=-y_{B}=-1\end{cases}\)

=>M(4;-1)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(3;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x=y_{A}=\left(-1\right)\\ y=-x_{A}=-3\end{cases}\)

=>A'(-1;-3)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): x-y+c=0

lấy B(2;-1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B(2;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x=y_{B}=-1\\ y=-x_{B}=-2\end{cases}\)

Thay x=-1 và y=-2 vào (d1), ta được:

-1-(-2)+c=0

=>-1+2+c=0

=>c+1=0

=>c=-1

=>(d1): x-y-1=0

(C): \(x^2+y^2+2x-3y-1=0\)

=>\(x^2+2x+1+y^2-3y+\frac94-\frac{13}{4}-1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{17}{4}\)

=>Tâm là I(-1;3/2); bán kính là \(R=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

Gọi I' là tâm của (C')

=>I'(x;y) là ảnh của I(-1;3/2) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Tọa độ I' là:

\(\begin{cases}x=-y_{I}=-\frac32\\ y=x_{I}=-1\end{cases}\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+\frac32\right)^2+\left(y+1\right)^2=R^2=\frac{17}{4}\)

Gọi (d') là ảnh của (d): x-3y+11=0 qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d')⊥(d)

=>(d'): 3x+y+c=0

Lấy A(1;4) thuộc (d)

Tọa độ B(x;y) là ảnh của A(1;4) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x_{B}=y_{A}=4\\ y_{B}=-x_{A}=-1\end{cases}\)

Thay x=4 và y=-1 vào (d'), ta được:

3*4+(-1)+c=0

=>c+11=0

=>c=-11

=>(d'): 3x+y-11=0