Bài 4:

a: TH1: p=2

\(p^2+62=2^2+62=4+62=66\) ⋮3

=>Loại

TH2: p=3

\(p^2+62=3^2+62\)

=9+62

=71(nhận)

TH3: p=3k+1

\(p^2+62\)

\(=\left(3k+1\right)^2+62\)

\(=9k^2+6k+1+62=9k^2+6k+63=3\left(3k^2+2k+21\right)\) ⋮3

=>Loại

TH4: p=3k+2

\(p^2+62=\left(3k+2\right)^2+62\)

\(=9k^2+12k+4+62\)

\(=9k^2+12k+66=3\left(3k^2+4k+22\right)\) ⋮3

=>Loại

b: TH1: p=2

\(p^2+6=2^2+6=4+6=10\) ⋮5

=>Loại

TH2: p=3

\(p^2+6=3^2+6=9+6=15\) ⋮5

=>Loại

TH3: p=3k+1

\(p^2+14=\left(3k+1\right)^2+14\)

\(=9k^2+6k+1+14\)

\(=9k^2+6k+15=3\left(3k^2+2k+5\right)\) ⋮3

=>Loại

TH4: p=3k+2

\(p^2+14=\left(3k+2\right)^2+14\)

\(=9k^2+12k+4+14=9k^2+12k+18\)

\(=3\left(3k^2+4k+6\right)\) ⋮3

=>Loại

Cái tội lười làm bài tập nó thế đấy! Me, too!

tích mình đi

ai tích mình 

mình tích lại 

thanks

Vì a và b là số lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m ∈ N)

=> a² + b² = (2k + 1)² + (2m + 1)²
= 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1
= 4(k² + k + m² + m) + 2
=> a² + b² không thể là số chính phương

Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:

\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)

Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

 Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.

Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)

Theo đề ta có :

\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)

\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)

\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow dpcm\)

Gọi 4 số đó là a , (a+1) , (a + 2) , (a + 3) 

Do là 4 số tự nhiên liên tiếp nên buộc chúng phải là số chẵn

Đặt \(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2=t^2\)

Ta có 

\(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2=4a^2+12a+14=4\left(a^2+3a+3\right)+2\)

Nhận thấy \(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2\equiv2\left(mod4\right)\)

Mặt khác , \(t^2\equiv0\left(mod4\right)\)

=> Vô lý 

Vậy tổng bình phương 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương 

Nguyên Đinh Huynh Ronaldo: hết lượt mất tiêu rồi!!!

Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2k−1 và 2k+1, với k là số tự nhiên.

Tổng các bình phương của hai số lẻ liên tiếp là: (2k−1)2+(2k+1)2=4k2−4k+1+4k2−4k+1=8k2+2

Tổng trên chia cho 4 dư 2; Vậy nó không thể là số chính phương (Số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1)

Vì a và b là số lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m\(\in\)N)
=> a² + b² = (2k + 1)² + (2m + 1)²
= 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1
= 4(k² + k + m² + m) + 2
=> a² + b² không thể là số chính phương .