a) ∀x ∈ R: x²>0= "Bình phương của một số thực là số dương". Sai vì 0∈R mà 0²=0.

b) ∃ n ∈ N: n²=n = "Có số tự nhiên n bằng bình phương của nó". Đúng vì 1 ∈ N, 1²=1.

c) ∀n ∈ N: n ≤ 2n = "Một số tự nhiên thì không lớn hơn hai lần số ấy". Đúng.

d) ∃ x∈R: x< = "Có số thực x nhỏ hơn nghịch đảo của nó". Mệnh đề đúng. chẳng hạn 0,5 ∈ R và 0,5 <.

\(9x^2-1=0\)

\(x^2=\dfrac{1}{9}\)

\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{3}\Rightarrow x\in Q\)

Chọn A

Thầy ơi nếu \(\forall n\in N:n^2>n\) mà với \(n=0;n=1\) thì mệnh đề \(C\) sai chứ ạ!

a, Với n = 1 ta có 3 ⋮ 3.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có :  k³ + 2k ⋮ 3 ( GT qui nạp).

Ta đi chứng minh : n = k + 1 cũng đúng: 

(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2

                           = (k^3+2k) + 3(k^2+k+1)

Ta có : + (k^3+2k) ⋮ 3 ( theo gt trên) 

             + 3(k^2+k+1) hiển nhiên chia hết cho 3 

Vậy mệnh đề luôn chia hết cho 3.

b, Với n = 1 ta có 12 ⋮ 6.

Giả sử n = k ≥ 1 , ta có: 13^k -1 ⋮ 6

Ta đi chứng minh : n = k+1 cũng đúng: 

=> 13^k.13 - 1 = 13(13^k - 1) + 12.

Có: - 13(13^k - 1) ⋮ 6 ( theo gt)

       - 12⋮6 ( hiển nhiên)

> Vậy mệnh đề luôn đúng.

\(\Rightarrow A=2^{2n}-1=4^n-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)=3\cdot\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)⋮3\forall n\in N\)

nhanh lên giùm

câu này khó quá

a: TH1: n=1

\(VT=n^2=1;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{1\cdot\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=1\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1^2+2^2+\ldots+n^2+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left\lbrack n\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)\right\rbrack}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+3n+4n+6\right)}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+3\right)\left(n+2\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1+1\right)\left\lbrack2\cdot\left(n+1\right)+1\right\rbrack}{6}\)

=>Mệnh đề cũng đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

b: TH1: n=1

\(VT=1\left(1+1\right)=1\cdot2=2;VP=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)

=>VT=VP

=>Mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n=k

Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

\(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)

=>Mệnh đề đúng với n=k+1

=>Mệnh đề đúng với mọi n

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\hept{\begin{cases}a^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{a^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}a\\b^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{b^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}b\\c^n+\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\ge n\sqrt[n]{c^n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n\left(n-1\right)}}=n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}c\end{cases}}\)

_________________________________________________________________________________________

\(\Rightarrow\left(a^n+b^n+c^n\right)\ge n\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{n-1}\left(a+b+c\right)-3\left(n-1\right)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\)\(=3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^n\)