a: ĐKXĐ: \(1-x^2\ge0\)

=>\(x^2\le1\)

=>-1<=x<=1

\(y=x\cdot\sqrt{1-x^2}\)

=>y'=\(x^{\prime}\cdot\sqrt{1-x^2}+x\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}\)

=>y'=\(\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)

Đặt y'>0

=>\(1-2x^2>0\)

=>\(2x^2<1\)

=>\(x^2<\frac12\)

=>\(-\frac{\sqrt2}{2}

=>Hàm số đồng biến trên \(\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\)

Đặt y'<0

=>\(1-2x^2<0\)

=>\(2x^2>1\)

=>\(x^2>\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt2}{2}\\ x<-\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(\frac{\sqrt2}{2}\) ;+∞) và (-∞;\(-\frac{\sqrt2}{2}\) )

b: ĐKXĐ: \(3x^2-x^3\ge0\)

=>\(x^3-3x^2\le0\)

=>\(x^2\left(x-3\right)\le0\)

=>x=0 hoặc x-3<=0

=>x=0 hoặc x<=3

=>x∈(-∞;3]

\(y=\sqrt{3x^2-x^3}\)

=>y'=\(\frac{\left(3x^2-x^3\right)^{\prime}}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{3\cdot2x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}=\frac{6x-3x^2}{2\cdot\sqrt{3x^2-x^3}}\)

Đặt y'>0

=>\(6x-3x^2>0\)

=>\(3x^2-6x<0\)

=>3x(x-2)<0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên (0;2)

Đặt y'<0

=>\(6x-3x^2<0\)

=>\(3x^2-6x>0\)

=>3x(x-2)>0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên (2;+∞) và (-∞;0)

Lời giải:

a) TXĐ: $x\in [-2;2]$

$y'=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=0\Leftrightarrow x=0$

Hàm số có điểm tới hạn $x=0$

Vẽ bảng biến thiên ta thu được hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và nghịch biến trên $(0;2)$

b) TXĐ: $x\in (-\infty;2]\cup [3;+\infty)$

$y'=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$ (loại vì không thuộc TXĐ)

Vẽ bảng biến thiên với các mốc $-\infty; 2;3;+\infty$ ta thấy hàm số đồng biến $(3;+\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty;2)$

a) Vì \(3-2\sqrt{2}>0\) nên hàm số đồng biến

b) Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) vào hàm số, ta được:

\(y=\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}-1\)

\(=9-8+\sqrt{2}-1\)

\(=\sqrt{2}\)

a) `a=3-2\sqrt2>0 =>` Hàm số đồng biến.

b) `y=(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)+\sqrt2-1=3^2-(2\sqrt2)^2+\sqrt2-1=\sqrt2`

`=> y=\sqrt2` khi `x=3+2\sqrt2`

ĐKXĐ: \(x^2-6x+5>=0\)

=>(x-1)(x-5)>=0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>=0\\x-5>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=1\\x>=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>=5\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< =0\\x-5< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< =1\\x< =5\end{matrix}\right.\)

=>x<=1

\(y=\sqrt{x^2-6x+5}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(x^2-6x+5\right)'}{2\sqrt{x^2-6x+5}}\)

=>\(y'=\dfrac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}\)

Đặt y'>0

=>\(\dfrac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}>0\)

=>2x-6>0

=>x>3

kết hợp ĐKXĐ, ta được: x>5

Đặt y'<0

=>\(\dfrac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+5}}< 0\)

=>2x-6<0

=>x<3

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x<1

Vậy: Hàm số nghịch biến trên (-\(\infty\);1) và đồng biến trên (5;+\(\infty\))

a: Lấy x1,x2 thuộc khoảng (1;+∞) sao cho 1<x1<x2

=>x1-1>0; x2-1>0

=>x1-1+x2-1>0

=>x1+x2-2>0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{x_1^2-2x_1+3-x_2^2+2x_2-3}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2}=x_1+x_2-2>0\)

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)

b: Lấy x1,x2 thuộc khoảng (-∞;3) sao cho x2<x1<3

=>x2-3<0; x1-3<0

=>x2+x1-6<0

\(\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{3-x_1}-\sqrt{3-x_2}}{x_1-x_2}\)

\(=\frac{3-x_1-3+x_2}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{3-x_1}+\sqrt{3-x_2}\right)}=\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(\sqrt{3-x_1}+\sqrt{3-x_2}\right)}\)

\(=\frac{-1}{\sqrt{3-x_1}+\sqrt{3-x_2}}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;3)

a) D=R

* Nếu x₁;x₂ \(\in\) \(\left(-\infty;0\right)\); x₁\(\ne\) x₂

x₁> x₂ thì x₁²+2x₁+3 <  x₂²+2x₂+3

 <=>       \(\sqrt{x_1^2+2x_1+3}< \sqrt{x_2^2+2x_2+3}\)

<=>         \(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

Hàm số nghịch biến

a: Vì \(a=1-\sqrt5<0\)

nên hàm số \(y=\left(1-\sqrt5\right)x-1\) nghịch biến trên R

b: Thay \(x=1+\sqrt5\) vào \(y=\left(1-\sqrt5\right)x-1\) , ta được:

\(y=\left(1-\sqrt5\right)\left(1+\sqrt5\right)-1\)

=1-5-1

=-5

c: Đặt \(y=\sqrt5\)

=>\(\left(1-\sqrt5\right)x-1=\sqrt5\)

=>\(\left(1-\sqrt5\right)x=\sqrt5+1\)

=>\(x=-\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}=-\frac{\left(\sqrt5+1\right)^2}{\left(\sqrt5-1\right)\left(\sqrt5+1\right)}=-\frac{6+2\sqrt5}{5-1}=-\frac{6+2\sqrt5}{4}=-\frac{3+\sqrt5}{2}\)