Gọi `AM` là trung tuyến của `ΔABC`

`=>AM` đồng thời là đường cao 

`=>ΔAMB;ΔAMC⊥M`

`AM` là trung tuyến nên 

`BM=MC=(BC)/2=4(cm)`

Áp dụng định lý py-ta-go ta tính được 

`AM^2=AB^2-BM^2=5^2-4^2=25-16=9(cm)`

`=>AM=3cm`

`G` trọng tâm 

`=>GA=2/3AM=2cm`

`GM=1/3AM=1cm`

Áp dụng định lý py-ta-go lần nữa ta tính đc

`GC^2=BG^2=BM^2+GM^2=4^2+1^2=16+1=17cm`

`=>GB=GC=`\(\sqrt{17cm}\)

a: Xét ΔABC có 

AM là trung tuyến

AM=BC/2

=>ΔABC vuông tại A

b: AB=căn 10^2-8^2=6cm

c: GM=1/3*AM=5/3(cm)

a: Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac57\)

=>\(\frac{AD}{5}=\frac{DC}{7}\)

mà AD+DC=AC=6cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DA}{5}=\frac{DC}{7}=\frac{DA+DC}{5+7}=\frac{6}{12}=0,5\)

=>\(DA=5\cdot0,5=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Gọi M là giao điểm của BG và AC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

BG cắt AC tại M

Do đó: M là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

BM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(BG=\frac23BM\)

Xét ΔBAD có AO là phân giác

nên \(\frac{BO}{OD}=\frac{BA}{AD}=\frac{5}{2,5}=2\)

=>\(\frac{BO}{BD}=\frac23\)

Xét ΔBDM có \(\frac{BO}{BD}=\frac{BG}{BM}\left(=\frac23\right)\)

nên OG//DM

=>OG//AC

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: \(AG=\frac23AM=\frac23\cdot5=\frac{10}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)