Bài 6:

a: \(x^2+x+1\)

\(=x^2+x+\frac14+\frac34\)

\(=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x+\frac12=0\)

=>\(x=-\frac12\)

b: \(2+x-x^2\)

\(=-\left(x^2-x-2\right)\)

\(=-\left(x^2-x+\frac14-\frac94\right)=-\left(x-\frac12\right)^2+\frac94\le\frac94\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x-\frac12=0\)

=>\(x=\frac12\)

c: \(x^2-4x+1\)

\(=x^2-4x+4-3\)

\(=\left(x-2\right)^2-3\ge-3\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-2=0

=>x=2

d: \(4x^2+4x+11\)

\(=4x^2+4x+1+10\)

\(=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi 2x+1=0

=>2x=-1

=>\(x=-\frac12\)

e: \(3x^2-6x+1\)

\(=3\left(x^2-2x+\frac13\right)\)

\(=3\left(x^2-2x+1-\frac23\right)=3\left(x-1\right)^2-2\ge-2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

=>x=1

f: \(x^2-2x+y^2-4y+6\)

\(=x^2-2x+1+y^2-4y+4+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0 và y-2=0

=>x=1 và y=2

g: \(h\left(h+1\right)\left(h+2\right)\left(h+3\right)\)

\(=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

\(=\left(h^2+3h+1\right)^2-1\ge-1\forall h\)

Dấu '=' xảy ra khi \(h^2+3h+1=0\)

=>\(h^2+3h+\frac94=\frac54\)

=>\(\left(h+\frac32\right)^2=\frac54\)

=>\(h+\frac32=\pm\frac{\sqrt5}{2}\)

=>\(h=-\frac32\pm\frac{\sqrt5}{2}\)

Bài 5:

a: \(a^2+2a+b^2+1\)

\(=a^2+2a+1+b^2\)

\(=\left(a+1\right)^2+b^2\ge0\forall a,b\)

b: \(x^2+y^2+2xy+4\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\)

\(=\left(x+y\right)^2+4\ge4>0\forall x,y\)

c: \(\left(x-3\right)\left(x-5\right)+2\)

\(=x^2-8x+15+2\)

\(=x^2-8x+17=x^2-8x+16+1=\left(x-4\right)^2+1>0\forall x\)

Bài 2: 

Ta có: \(3n^3+10n^2-5⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;-3;3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-1;1\right\}\)

O1=O2( vì 2 góc đối đỉnh)

O3 và O4 thì làm theo cách hai góc kề bù

Vd :O1+O3=180 độ (2 góc kề bù)

Suy ra :120 độ +O3=180 độ

Vậy từ đó tính ra đc O3 ,tương tự O4 cũng vậy

11 c)

\(a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

12 a)  Có a+b+c=1\(\Rightarrow\) (1-a)(1-b)(1-c)= (b+c)(a+c)(a+b) (*)

áp dụng BĐT cô-si: \(\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}2\sqrt{ac}2\sqrt{ab}=8\sqrt{\left(abc\right)2}=8abc\) ( luôn đúng với mọi a,b,c ko âm ) 

b)  áp dụng BĐT cô-si: \(c\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

Tương tự: \(a\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{4};b\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{64}\)

Pt có 2 nghiệm khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'=9\left(m-1\right)^2-9m\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ge-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{6\left(m-1\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{9\left(m-3\right)}{m}\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2=x_1x_2\Rightarrow\dfrac{6\left(m-1\right)}{m}=\dfrac{9\left(m-3\right)}{m}\)

\(\Rightarrow6\left(m-1\right)=9\left(m-3\right)\)

\(\Rightarrow m=7\)

A đúng

Chọn 

Xy=2(x+y)

<=> (xy-2x)-(2y-4)=4

<=>x(y-2)-2(y-2)=4

<=>(X-2)(y-2)=4=1.4=2.2

Có x,y là số nguyên dương nên x-2,y-2 là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng-2 nên ta có

Th1: x-2=1,y-2=4

=> X=3,y=6.

Th2: x-2=4,y-2=1

=> X=6,y=3.

Th3: x-2=y-2=2

=> X=y=4.