-Đặt \(x^2+8x=a^2\)

\(\Rightarrow x^2+8x+16=a^2+16\)

\(\Rightarrow\left(x+4\right)^2-a^2=16\)

\(\Rightarrow\left(x+a+4\right)\left(x-a+4\right)=16\)

-Vì \(x,a\) là các số nguyên dương \(\Rightarrow x+a+4>x-a+4\) và \(16=16.1=8.2=4.4\)

\(\Rightarrow x+a+4=16;x-a+4=1\Rightarrow x=\dfrac{9}{2};a=\dfrac{15}{2}\left(loại\right)\)

\(x+a+4=8;x-a+4=2\Rightarrow x=1;a=3\left(nhận\right)\)

\(x+a+4=4;x-a+4=4\Rightarrow x=a=0\left(nhận\right)\)

-Vậy \(x\in\left\{0;1\right\}\)

cách j thế ạ 

Để \(x^2+x+5\) là số chính phương thì \(x^2+x+5=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(4x^2+4x+20=4k^2\)

=>\(4x^2+4x+1+19-4k^2=0\)

=>\(\left(2x+1\right)^2-\left(2k\right)^2=-19\)

=>(2x+1-2k)(2x+1+2k)=-19

=>(2x+1-2k;2x+1+2k)∈{(1;-19);(-19;1);(-1;19);(19;-1)}

TH1: 2x+1-2k=1 và 2x+1+2k=-19

=>2x+1-2k+2x+1+2k=1-19

=>4x+2=-18

=>4x=-20

=>x=-5

TH2: 2x+1-2k=-19 và 2x+1+2k=1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-19+1

=>4x+2=-18

=>4x=-20

=>x=-5

TH3: 2x+1-2k=-1 và 2x+1+2k=19

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+19

=>4x+2=18

=>4x=16

=>x=4

TH4: 2x+1-2k=19 và2x+1+2k=-1

=>2x+1-2k+2x+1+2k=-1+19

=>4x+2=18

=>4x=16

=>x=4

Để \(x^2+8x\) là số chính phương thì \(x^2+8x=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(x^2+8x+16=k^2+16\)

=>\(\left(x+4\right)^2-k^2=16\)

=>(x+4-k)(x+4+k)=16

=>(x+4-k;x+4+k)∈{(1;16);(16;1);(2;8);(8;2);(4;4);(-1;-16);(-16;-1);(-2;-8);(-8;-2);(-4;-4)]

TH1: x+4-k=1 và x+4+k=16

=>x+4-k+x+4+k=1+16

=>2x+8=17

=>2x=9

=>x=4,5(loại)

TH2: x+4-k=16 và x+4+k=1

=>x+4-k+x+4+k=1+16

=>2x+8=17

=>2x=9

=>x=4,5(loại)

TH3: x+4-k=2 và x+4+k=8

=>x+4-k+x+4+k=2+8

=>2x+8=10

=>2x=2

=>x=1(nhận)

TH4: x+4-k=8 và x+4+k=2

=>x+4-k+x+4+k=2+8

=>2x+8=10

=>2x=2

=>x=1(nhận)

TH5: x+4-k=4 và x+4+k=4

=>x+4-k+x+4+k=4+4

=>2x+8=8

=>2x=0

=>x=0(loại)

TH6: x+4-k=-1 và x+4+k=-16

=>x+4-k+x+4+k=-1-16

=>2x+8=-17

=>2x=-25

=>x=-12,5(loại)

TH7: x+4-k=-16 và x+4+k=-1

=>x+4-k+x+4+k=-1-16

=>2x+8=-17

=>2x=-25

=>x=-12,5(loại)

TH8: x+4-k=-2 và x+4+k=-8

=>x+4-k+x+4+k=-2-8

=>2x+8=-10

=>2x=-18

=>x=-9(loại)

TH9: x+4-k=-8 và x+4+k=-2

=>x+4-k+x+4+k=-2-8

=>2x+8=-10

=>2x=-18

=>x=-9(loại)

TH10: x+4-k=-4 và x+4+k=-4

=>x+4-k+x+4+k=-4-4

=>2x+8=-8

=>2x=-16

=>x=-8(loại)

Cách này sử dụng các hằng đặng thức đáng nhớ:

\(A^2+2AB+B^2=\left(A+B\right)^2\)

và \(A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)\)

Em tìm hiểu nhé!

Đặt : \(x^2-x-1=a^2\) nhân 4 vào 2 vế ta có:

\(4x^2+4x-4=4a^2\Leftrightarrow4x^2+4x+1-5=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2a\right)^2=5\)

<=> \(\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=5\)

Vì x, a nguyên nên mình sẽ có các trường hợp

TH1: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=5\\2x+1+2a=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\a=-1\end{cases}}}\)thay vào thỏa mãn

TH2: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-5\\2x+1+2a=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\a=1\end{cases}}}\)thử vào thỏa mãn

TH3: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-1\\2x+1+2a=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\a=-1\end{cases}}}\)thử vào thỏa mãn

TH4: .....làm tiếp nhé

kết luận x=-2 hoặc x=1

số phương là số gì ?

Giả sử \(x^3+x^2+2025\) là số chính phương nhỏ hơn 10000. Ta có phương trình:
\(x^3+x^2+2025 =k^2(k \in N,k^2<10000 \Leftrightarrow k<100)\)
\(\Leftrightarrow \)\(2025=k^2-x^2(x+1)\)
\(\Leftrightarrow \)\(2025=(k-x\sqrt{x+1})(k+x\sqrt{x+1})\)
Mà \(k-x\sqrt{x+1} < k+x\sqrt{x+1}< 100\)(Vì \(k < 100\))
\(\Rightarrow \)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k+x\sqrt{x+1}=81\\ k-x\sqrt{x+1}=25 \end{cases}\\ \begin{cases} k+x\sqrt{x+1}=75\\ k-x\sqrt{x+1}=27 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} 2k=106\\ k-x\sqrt{x+1}=25 \end{cases}\\ \begin{cases} 2k=102\\ k-x\sqrt{x+1}=27 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ 53-x\sqrt{x+1}=25 \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ 51-x\sqrt{x+1}=27 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ x\sqrt{x+1}=28 \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ x\sqrt{x+1}=24 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ x^3+x^2-784=0 \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ x^3+x^2-576=0 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ x^3+x^2-784=0(PTVN) \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ x^3-8x^2+9x^2-72x+72x-576=0 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} k=51\\ (x-8)(x^2+9x+72)=0 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} k=51(t/m)\\ \left[\begin{array}{} x=8(t/m)\\ (x+\frac{9}{2})^2+\frac{207}{4}=0(PTVN) \end{array} \right. \end{cases}\)
Vậy chỉ có giá trị \(x=8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
P/s: Cái c/m vô nghiệm kia mình không biết làm. Chỉ biết bấm máy tính không ra nghiệm nguyên

Đáp án B

Đặt: \(t^2=x^2+x+6\)

=> \(4t^2=4x^2+4x+24=\left(2x+1\right)^2+23\)

=> \(4t^2-\left(2x+1\right)^2=23\)

<=> \(\left(2t-2x-1\right)\left(2t+2x+1\right)=23\)

Chia các trường hợp: => x và t