Đặt \(f\left(x\right)=x^2-\left(m-1\right)x+3m-12\)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(3m-12\right)\)

\(=m^2-2m+1-12m+48=m^2-14m+49=\left(m-7\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m-7<>0

=>m<>7

Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m-1;x_1x_2=\frac{c}{a}=3m-12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn 2 thì \(\begin{cases}f\left(2\right)>0\\ x_1+x_2>4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}2^2-\left(m-1\right)\cdot2+3m-12>0\\ m-1>4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4-2m+2+3m-12>0\\ m>5\end{cases}\)

=>m-6>0 và m>5

=>m>6

Xét \(\Delta'=1-\left(-m^2+2m\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)\(\ge0;\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm 

Theo viet có: \(x_1+x_2=2\)

Do \(x_1^2\) là một nghiệm của pt \(\Rightarrow x_1^2-2x_1-m^2+2m=0\)\(\Leftrightarrow x_1^2=2x_1+m^2-2m\)

\(x_1^2+2x_2=3m\)

\(\Leftrightarrow2x_1+2x_2+m^2-2m=3m\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)+m^2-5m=0\)

\(\Leftrightarrow4+m^2-5m=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy...

a) Ta có :  \(\Delta"=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Hệ thức Viete : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)

\(=\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8.\left(m-2\right)}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4+=}=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)

Do (m - 1)² + 3 \(\ge3\forall m\)

nên \(\dfrac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\le2\Leftrightarrow M=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\ge-2\)

Vậy M_min = -2 <=> m = 1

a: TH1: m=0

Phương trình sẽ trở thành:

\(0x^2-2\cdot\left(0-1\right)x+3\left(0-2\right)=0\)

=>2x-6=0

=>2x=6

=>x=3

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4m\cdot3\left(m-2\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-12m\left(m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+4-12m^2+24m=-8m^2+16m+4\)

\(=4\left(-2m^2+4m+1\right)\)

\(=-8\left(m^2-2m-\frac12\right)\)

\(=-8\left(m^2-2m+1-\frac32\right)=-8\left\lbrack\left(m-1\right)^2-\frac32\right\rbrack\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(\left(m-1\right)^2-\frac32\le0\)

=>\(\left(m-1\right)^2\le\frac32=\frac64\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{2}\le m-1\le\frac{\sqrt6}{2}\)

=>\(-\frac{\sqrt6}{2}+1\le m\le\frac{\sqrt6}{2}+1\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m};x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

\(x_1+2x_2=1;x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m}\)

=>\(x_1+2x_2-x_1-x_2=1-\frac{2\left(m-1\right)}{m}=\frac{m-2m+2}{m}=\frac{-m+2}{m}\)

=>\(x_2=\frac{-m+2}{m}\)

\(x_1=\frac{2\left(m-1\right)}{m}-\frac{-m+2}{m}=\frac{2m-2+m-2}{m}=\frac{3m-4}{m}\)

\(x_1x_2=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

=>\(\frac{\left(3m-4\right)\left(-m+2\right)}{m^2}=\frac{3m\left(m-2\right)}{m^2}\)

=>(3m-4)(-m+2)=3m(m-2)

=>\(-3m^2+6m+4m-8=3m^2-6m\)

=>\(-6m^2+16m-8=0\)

=>\(3m^2-8m+4=0\)

=>\(3m^2-6m-2m+4=0\)

=>(m-2)(3m-2)=0

=>m=2(nhận) hoặc m=2/3(nhận)

Δ=(-2)^2-4(m-3)

=4-4m+12=16-4m

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì 16-4m>0 và m-3>0

=>m>3 và m<4

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2

=2^2-2(m-3)=4-2m+6=10-2m

=>x1^2=10-2m-x2^2

x1^2+12=2x2-x1x2

=>10-2m-x2^2+12=2x2-m+3

=>\(-x_2^2+22-2m-2x_2+m-3=0\)

=>\(-x_2^2-2x_2-m+19=0\)

=>\(x_2^2+2x_2+m-19=0\)(1)

Để (1) có nghiệmthì 2^2-4(m-19)>0

=>4-4m+76>0

=>80-4m>0

=>m<20

=>3<m<4

max P = \(\frac{1}{8}\)=> m=8