a: \(x^2+y^2(x-y+1)-\left(x-1\right)\cdot y=22\)

=>\(x^2 + y^2(x - y + 1) - xy + y = 22\)

=>\(x^2-xy+y^2(x-y+1)+y=22\)

=>\(x(x-y+1)-x+y^2(x-y+1)+y=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y)=22\)

\(\iff(x-y+1)(x+y^2)-(x-y+1)+1=22\)

=>\((x-y+1)(x+y^2-1)=21\)

TH1: \(\begin{cases}x-y+1=1\\ x+y^2-1=21\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=y\\ y+y^2-1=21\end{cases}\iff y^2+y-22=0\)

=>\(y^2+y+\frac14-\frac{89}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2=\frac{89}{4}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+\frac12=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ y+\frac12=-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\\ y=\frac{-\sqrt{89}-1}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

=>Loại

TH2: \(\begin{cases}x-y+1=21\\ x+y^2-1=1\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+20\\ (y+20)+y^2-1=1\end{cases}\iff y^2+y+18=0\)

=>\(y^2+y+\frac14+\frac{71}{4}=0\)

=>\(\left(y+\frac12\right)^2+\frac{71}{4}=0\) (vô lý)

=>Loại

TH3: \(\begin{cases}x-y+1=3\\ x+y^2-1=7\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+2\\ (y+2)+y^2-1=7\end{cases}\iff y^2+y-6=0\)

=>(y+3)(y-2)=0

=>y=-3 hoặc y=2

Nếu y=-3 thì x-y+1=3

=>x-y=2

=>x-(-3)=2

=>x+3=2

=>x=-1

Nếu y=2 thì x-y+1=3

=>x-2+1=3

=>x-1=3

=>x=4

TH4: \(\begin{cases}x-y+1=7\\ x+y^2-1=3\end{cases}\iff\begin{cases}x=y+6\\ (y+6)+y^2-1=3\end{cases}\iff y^2+y+2=0\)

=>y∈∅

=>Loại

\(\left(x^2-x+1\right)\left(xy+y^2\right)=3x-1\left(1\right)\)

\(3x-1⋮x^2-x+1\)

zì \(lim\left(x\rightarrow\infty\right)\frac{3x-1}{x^2-x+1}=0\)

zà thấy x=2 thỏa mãn ,=> x=1

thay zô 1 ta có

\(1\left(y+y^2\right)=2=>y^2+y-2=0=>\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-2\end{cases}}\)

zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,1\right)\left(1,-2\right)\right\}\)

\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

Ta có: \(\vert{}x^2 - 2x\vert{} - \frac{1}{2} < 2 - \vert{}x - 1\vert{}\)

=>\(\vert{}(x - 1)^2 - 1\vert{} + \vert{}x - 1\vert{} < \frac{5}{2}\) (1)

Đặt \(t = \vert{}x - 1\vert{} \ge 0\)

(1) =>\(\vert{}t^2 - 1\vert{} + t < \frac{5}{2}\)

Khi t=0 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|0^2-1\right|+0=1\) <5/2(nhận)

Khi t=1 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|1^2-1\right|+1=1<\frac52\) (nhận)

Khi t=2 thì \(\left|t^2-1\right|+t=\left|2^2-1\right|+2=2^2-1+2=4-1+2=6-1=5>\frac52\)

=>Loại

Khi t>2 thì \(\left|t^2-1\right|+t\ge5>\frac52\)

=>Loại

Vậy: t=0 hoặc t=1

t=0

=>x-1=0

=>x=1

\(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|1^2-2\cdot1\right|-\frac12

=>\(\left|1-2\right|-\frac12

=>1/2<y<2

mà y nguyên

nên y=1

t=1

=>|x-1|=1

=>x-1=1 hoặc x-1=-1

=>x=2 hoặc x=0

Khi x=2 thì \(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|2^2-2\cdot2\right|-\frac12

=>\(-\frac12

mà y nguyên

nên y=0

Khi x=0 thì \(\left|x^2-2x\right|-\frac12

=>\(\left|0^2-2\cdot0\right|-\frac12

=>\(-\frac12

mà y nguyên

nên y=0

\(x^2\left(y-5\right)-xy=x-y+1\)

<=> \(x^2y-5x^2-xy=x-y+1\)

<=> \(y\left(x^2-x+1\right)=5x^2+x+1\)

Vì \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) nên ta có: 

pt <=> \(y=\frac{5x^2+x+1}{x^2-x+1}=5+\frac{6x-4}{x^2-x+1}\) 

y đạt giá trị nguyên <=> 6x - 4 chia hết cho x^2 - x + 1

Ta có: 6x-  4 = 2( 3x - 2 ) là số chẵn mà x^2 - x + 1 = x( x-1) + 1 là số lẻ =>3x - 2 chia hết cho x^2 - x + 1  

<=> (3x-1)  ( 3x- 2) chia hết cho x^2 - x + 1 

<=> 9x^2 -9x + 2 chia hết cho x^2 - x + 1 

mà  9x^2 - 9x + 9 chia hết cho x^2 - x + 1 

=> 7 chia hết cho x^2 - x + 1 ( chú ý là x^2 - x + 1 > 0) 

=> x^2 - x + 1 \(\in\){1; 7}

TH1: x^2 - x + 1 = 1 <=> x^2 - x = 0 <=> x = 0 => y = 1  hoặc x = 1 => y = 7

TH2: x^2 - x + 1 = 7 <=> x^2 - x - 6 = 0 <=> x = - 2 => y không thuộc Z loại  hoặc x = 3 => y = 7 

Kết luận..