Cho các số thực a;b;c > 1 . Chứng minh rằng 1/(2a - 1) + 1/(2b - 1) + 1/(2c - 1) + 4ab/(1 + ab) + 4bc/(1 + bc) + 4ca/(1 + ca) > 9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
CTVVIP
22 tháng 9 2023
a) \({x^2} = 4 = {2^2} = {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow x = \pm 2\)
b) \({x^3} = - 8 = {\left( { - 2} \right)^3} \Leftrightarrow x = - 2.\)
- Chú ý:
Trong toán học, căn bậc chẵn của một số là một số lớn hơn 0. Do đó số âm không có căn bậc chẵn.
CM
7 tháng 5 2018
Chọn C.
Phương pháp: Kiểm tra tính đúng sai của từng mệnh đề.
Cách giải:
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
20 tháng 6
Đặt x=a-2b; y=3a+4b
Theo đề, ta có: x và y là các số hữu tỉ
a-2b=x và 3a+4b=y
=>2a-4b=2x và 3a+4b=y
=>2a-4b+3a+4b=2x+y
=>5a=2x+y
=>\(a=\frac{2x+y}{5}\)
a-2b=x
=>\(2b=a-x=\frac{2x+y}{5}-x=\frac{2x+y-5x}{5}=\frac{-3x+y}{5}\)
=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\)
Vì x,y là các số hữu tỉ
nên 2x+y là số hữu tỉ
=>\(\frac{2x+y}{5}\) là số hữu tỉ
=>a là số hữu tỉ
Vì x,y là các số hữu tỉ
nên -3x+y là số hữu tỉ
=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\) là số hữu tỉ
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
20 tháng 6
Đặt x=a-2b; y=3a+4b
Theo đề, ta có: x và y là các số hữu tỉ
a-2b=x và 3a+4b=y
=>2a-4b=2x và 3a+4b=y
=>2a-4b+3a+4b=2x+y
=>5a=2x+y
=>\(a=\frac{2x+y}{5}\)
a-2b=x
=>\(2b=a-x=\frac{2x+y}{5}-x=\frac{2x+y-5x}{5}=\frac{-3x+y}{5}\)
=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\)
Vì x,y là các số hữu tỉ
nên 2x+y là số hữu tỉ
=>\(\frac{2x+y}{5}\) là số hữu tỉ
=>a là số hữu tỉ
Vì x,y là các số hữu tỉ
nên -3x+y là số hữu tỉ
=>\(b=\frac{-3x+y}{10}\) là số hữu tỉ
CM
25 tháng 3 2019
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm
Khi đó
Suy ra
Xét hàm số:
Chọn D.
Do \(a,b,c\ge1\) nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
Mà \(\frac{4ab}{1+ab}=\frac{4\left(1+ab\right)-4}{1+ab}=4-\frac{4}{1+ab}\ge4-\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{4bc}{1+bc}\ge4-\frac{4}{b+c};\frac{4ca}{1+ca}\ge4-\frac{4}{c+a}\)
Mặt khác:\(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2\ge2a-1\)
Tương tự:\(b^2\ge2b-1;c^2\ge2c-1\)
Khi đó ta có:
\(LHS\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+12-4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=S\)
Áp dụng AM - GM ta dễ có:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}+12-4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(=\left(\frac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\frac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\frac{2}{c+a}-1\right)^2+9\)
\(\ge9\)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Mình cảm ơn bạn