p nguyên tố thì làm sao p^2 nguyên tố đc bạn ? Đề sai rồi!

Tớ sửa đề bài :

Cho p và p² + 2 là các số nguyên tố . Chứng tỏ p² + p³ + 1 là cũng là số nguyên tố .

Bài làm :

+ Xét p = 2 

Khi đó : p² + 2 = 6 ( hợp số ) ( loại )

+ Xét p = 3

Khi đó : p² + 2 = 11 ( nguyên tố )

p³ + p² + 1 = 3³ + 3³ + 1 = 37 ( nguyên tố )

Vậy p = 3 t/m đề bài

+ Xét p > 3

Suy ra : p không chia hết cho 3 .

\(\Rightarrow\)p² chia cho 3 dư 1 .

Suy ra : p² + 2 \(⋮\)3

Mà p² + 2 là số nguyên tố nên p² + 2 = 3 . Suy ra : p = 1 ( loại )

Vậy với p > 3 ktm .

Tóm lại : p = 3

giúp cái

a: \(9^{2n}-1=\left(9^2\right)^{n}-1\)

\(=81^{n}-1=\left(81-1\right)\left(81^{n-1}+81^{n-2}+\cdots+1\right)\)

\(=80\left(81^{n-1}+81^{n-2}+\cdots+1\right)\) ⋮10

=>\(9^{2n}-1\) chia hết cho cả 2 và 5

b: p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p=3k+1 hoặc p=3k+2

p=3k+1

=>2p+1=2(3k+1)+1

=6k+2+1

=6k+3=3(2k+1)⋮3

=>Loại

=>p=3k+2

4p+1

=4(3k+2)+1

=12k+8+1

=12k+9=3(4k+3)⋮3

=>4p+1 là hợp số

TH1: p=3k+1

=>p+2=3k+3(loại)

=>p=3k+2 và p là số lẻ

p+1=3k+3=3(k+1) chia hết cho 3

p là số lẻ

=>p+1 chia hết cho 2

=>p+1 chia hết cho 6

\(+,p=2\Rightarrow p^2+2=4\left(\text{vô lí}\right)\)

\(+,p=3\Rightarrow p^2+2=11;p^3+2=29\left(\text{là các số nguyên tố}\right)\)

\(+,p>3\Rightarrow p=3k+1\text{ hoặc }3k+2\left(k\text{ nguyên dương}\right)\Rightarrow p^2\text{ chia 3 dư 1}\Rightarrow p^2+2\text{ chia hết cho 3};>3\)

\(\left(vôli\right)\)

Ta có đpcm

Nếu p>3 mà p là số nguyên tố nên p ko chia hết cho 3

\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow p^2+2\equiv0\left(mod3\right)\)

Mà \(p^2+2>3\)nên \(p^2+2\)là hợp số(Trái với giả thiết)

Do đó \(p\le3\)mà p là số nguyên tố nên \(p\in\left\{2;3\right\}\)

Với p=2 thì \(p^2+2=2^2+2=6\)là hợp số (Trái với giả thiết)

Vậy p=3 suy ra\(p^3+2=3^3+2=29\)là số nguyên tố(đpcm)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 2k + 1 hoặc p = 2k + 2

- Nếu p = 2k + 1 => p + 2 = 2k + 3,là số nguyên tố nếu p không là bội của 3. Do đó p + 1 = 2k + 2 chia hết cho 6.

- Nếu p = 2k + 2 => p + 2 = 3k + 4 là hợp số, loại.

 => đpcm

  tick đúng cho tớ với !

Tp là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 2k + 1 hoặc p = 2k + 2

- Nếu p = 2k + 1 => p + 2 = 2k + 3,là số nguyên tố nếu p không là bội của 3. Do đó p + 1 = 2k + 2 chia hết cho 6.

- Nếu p = 2k + 2 => p + 2 = 3k + 4 là hợp số, loại.

 => đpcm

  tick đúng cho tớ với !