\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2016^2}\)

\(=\frac{1}{2^2}.\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{1008^2}\right)< \frac{1}{2^2}.\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{1007.1008}\right)\)

                                                                         \(< \frac{1}{4}.\left(1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1007}-\frac{1}{1008}\right)\)

                                                                           \(< \frac{1}{4}.\left(2-\frac{1}{1008}\right)< \frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)

=> đpcm

đặt A=1/3²+1/4²+1/5²+……1/100²

B=1/2.3+1/3.4+...+1/99.100

=1/2-1/3...+1/99-1/100

=1/2-1/100<1/2 (1)

mà A=1/3²+1/4²+1/5²+……1/100²<B=1/2.3+1/3.4+...+1/99.100 (2)

kết hợp từ (1),(2)ta được A<B<1/2

=>A<1/2

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3.4}\)

...

\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)

===>\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{2}-\frac{1}{100}=\frac{49}{100}<\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\)

bạn so sánh 1/1000 với 1/2000, ...... với 1/2000

bạn thấy 1/2000 đều nhỏ hơn các số kia 

1/2000 =1/2000

ta có 1/2000+1/2000+1/2000+......+1/2000 [có tất cả là 1001 số 1/2000]

vì [2000-1000]:1 +1=1001

ta lấy 1/2000 nhân với 1001= 1001/2000

vậy 1001/2000 nhỏ hơn 1/2

ôi mình xin lỗi nhé 1001/2000 lớn hơn 1/2

a>

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000

ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )

1/100^2<1/2

=>A<1

oke

Gọi tổng trên là A, ta có:

a) A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2008^2}\) \(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2007.2008}\)

                                                     \(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2007}-\frac{1}{2008}\)

                                                        \(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2008}\)

                                                           \(< 1-\frac{1}{2008}\)

Vì 1 - 1/2008 < 1 nên A < 1 - 1/2008 < 1

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2008^2}< 1\)

câu b đề sao đấy bạn

a) ta có :1/5^2<1/4.5=1/4-1/5

1/6^2<1/5.6=1/5-1/6

.................

1/100^2<1/99.100=1/99-1/100

=>1/5^2+1/6^2+1/7^2+......+1/100^2 <1/4-1/100=6/25<1/4(1)

ta lại có:1/5^2>1/5.6=1/5-1/6

1/6^2>1/6.7=1/6-1/7

.................

1/100^2>1/100.101=1/100-1/101

=>1/5^2+1/6^2+1/7^2+......+1/100^2>1/5-1/101=96/505>1/6(2)

từ (1)(2) suy ra 1/6<1/5^2+1/6^2+1/7^2+......+1/100^2 < 1/4

b)ta có:1/11+1/12+....+1/70=(1/11+1/12+...+1/20)+(1/21+1/22+...+1/30)+(1/31+1/32+...+1/40)+(1/41+1/42+...+1/50)+(1/51+1/52+...+1/60)+(1/61+1/62+...+1/70)>(1/20+1/20+...+1/20)_{(10 phân số 1/20)}+(1/30+1/30+...+1/30)_{(10 phân số 1/30)}+(1/40+1/40+...+1/40)_{(10 phân số 1/40)}+(1/50+1/50+...+1/50)_{(10 phân số 1/50)}+(1/60+1/60+...+1/60)_{(10 phân số 1/60)}=1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=29/20>4/3(1)

ta lại có:1/11+1/12+....+1/70=(1/11+1/12+...+1/20)+(1/21+1/22+...+1/30)+(1/31+1/32+...+1/40)+(1/41+1/42+...+1/50)+(1/51+1/52+...+1/60)+(1/61+1/62+...+1/70)<(1/11+1/11+...+1/11)_{(10 phân số 1/11)}+(1/21+1/21+...+1/21)_{(10 phân số 1/21)}+(1/31+1/31+...+1/31)_{(10 phân số 1/31)}+(1/41+1/41+...+1/41)_{(10 phân số 1/41)}+(1/51+1/51+...+1/51)_{(10 phân số 1/51)}+(1/61+1/61+...+1/61)_{(10phân số 1/61)}  =10/11+10/21+10/31+10/41+10/51+10/61=2,311777327<5/2(2)

từ (1)(2)=>4/3<1/11+1/12+....+1/70<5/2