a: Xét ΔABM có AB-BM<AM

Xét ΔACM có AC-CM<AM

Do đó: AB-BM+AC-CM<AM+AM

=>AB+AC-BC<2AM

=>\(\frac{AB+AC-BC}{2}

b: Xét ΔMCD và ΔMBA có

MC=MB

\(\hat{CMD}=\hat{BMA}\) (hai góc đối đỉnh)

MD=MA

Do đó: ΔMCD=ΔMBA

=>CD=BA

Xét ΔCAD có CA+CD>AD

=>CA+AB>2AM

=>2AM<AB+AC

a: xét ΔMAB có MA<MB+AB(2)

Xét ΔMAC có MA<MC+AC(1)

Từ (1),(2) suy ra MA+MA<MB+AC+MC+AC

=>2MA<AB+AC+BC

=>\(\frac{AB+AC+BC}{2}>AM\)

Xét ΔAMB có MA>AB-MB

Xét ΔMAC có MA>AC-MC

Do đó: MA+MA>AB-MB+AC-MC

=>2MA>AB+AC-BC

=>\(\frac{AB+AC-BC}{2}

b: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\hat{AMB}=\hat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC
=>AB=CD

Xét ΔCDA có CD+CA>AD

=>AB+AC>2AM

=>2AM<AB+AC

Xét hai tam giác ABE và DCE có AB=DC (giả thiết), BE=CE (vì E nằm trên trung trực BC) và EA=ED (vì E nằm trên trung trực CD). Suy ra hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c. Từ đó suy ra góc ABE= góc DCE = góc ACE. Vậy B,C nhìn AE dưới hai góc bằng nhau, do đó ABCE nội tiếp. Suy ra E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy nên D thuộc đường trung trực của cạnh BC. Mặt khác đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm của BC nên D là trung điểm của cạnh BC.

Bài 8:

a: Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE
Do đó:ΔABD=ΔACE

Suy ra: AD=AE

b: ta có: ΔABD=ΔACE

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)

Điểm O cách đều AB, AC nên O thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy (B) sai còn (A), (C), (D) đúng.

Đáp số: (B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.

a: Xét tứ giác BDEM có 

DE//BM

BD//EM

Do đó: BDEM là hình bình hành

Suy ra: DE=BM

mà DE=BC/2

nên BM=BC/2

hay M là trung điểm của BC

Xét ΔADE và ΔEMC có

\(\widehat{A}=\widehat{CEM}\)

DE=MC

\(\widehat{ADE}=\widehat{EMC}\)

Do đó: ΔADE=ΔEMC

b: Xét ΔABC có

DE//BC

nên AD/AB=DE/BC

=>AD/AB=1/2

=>AD=1/2AB

hay D là trung điểm của AB

Xét tứ giác AEDF có 

AE//DF

DE//AF

Do đó: AEDF là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của FE

nên O là trung điểm của AD

=>Khi D di chuyển trên BC thì O là trung điểm của AD

Ta có: \(\widehat{BEO}=\widehat{C}\)

mà \(\widehat{C}=\widehat{B}\)

nên \(\widehat{BEO}=\widehat{B}\)

Xét tứ giác BDOE có OD//BE

nên BDOE là hình thang

mà \(\widehat{BEO}=\widehat{B}\)

nên BDOE là hình thang cân