\(\text{Δ}=\left(2k\right)^2-4\cdot\left(k^2-k\right)\)

\(=4k^2-4k^2+4k\)

=4k

Để phương trình có nghiệm thì \(4k\ge0\)

hay \(k\ge0\)

k=0 => \(9x^2-25=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{25}{9}\Leftrightarrow x=\pm\frac{5}{3}\)

x=-1 => 9-25-k²=2k=0

=> k²-2k+16=0

=> không có giá trị k thỏa mãn

\(x^2-2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x_1+\left(x_2\right)^2\\v=x_2+\left(x_1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2+x_1\right)^2-2x_1x_2\\uv=2x_1x_2+x_1^3+x_2^3=2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=8\\uv=12\end{matrix}\right.\)

=>u và v là nghiệm của pt \(t^2-8t+12=0\)

\(2x^2-4x-m=0\left(1\right)\)

a, Để pt (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ' > 0

\(\Rightarrow2+2m>0\Leftrightarrow m>-1\)

b, Theo viét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì \(t_1,t_2\) là hai nghiệm của Phương trình \(x^2-Sx+P=0\) nên theo viét đảo có :

\(\left\{{}\begin{matrix}S=t_1+t_2=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\\P=t_1.t_2=\dfrac{1}{x_1x_2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\P=\dfrac{1}{x_1x_2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=\dfrac{2}{-\dfrac{m}{2}}\\P=\dfrac{1}{-\dfrac{m}{2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=-\dfrac{4}{m}\\P=-\dfrac{2}{m}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình cần tìm là : \(x^2+\dfrac{4}{m}.x-\dfrac{2}{m}=0\) hay \(x^2m+4x-2=0\)

a: \(\Delta=\left\lbrack-\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot m\)

\(=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b: Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+1\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=m\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1+2\)

=>\(\left(m+1\right)^2-3x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)-3=0\)

=>\(\left(m+1\right)^2-3m+m+1-3=0\)

=>\(m^2+2m+1-2m-2=0\)

=>\(m^2-1=0\)

=>\(m^2=1\)

=>m=1 hoặc m=-1

a: \(\Delta=\left\lbrack-\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot m\)

\(=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b: Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+1\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=m\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1+2\)

=>\(\left(m+1\right)^2-3x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)-3=0\)

=>\(\left(m+1\right)^2-3m+m+1-3=0\)

=>\(m^2+2m+1-2m-2=0\)

=>\(m^2-1=0\)

=>\(m^2=1\)

=>m=1 hoặc m=-1