1 + 2 + 3 +...+ \(x\) = \(\overline{aaa}\)

Đặt 1 + 2 + 3 +...+ \(x\) = B 

xét dãy số 

1; 2; 3; ...; \(x\)

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Dãy số trên có số số hạng là: (\(x\) - 1): 1 + 1 = \(x\)

Tổng B =  ( \(x\) + 1) \(\times\) \(x\) : 2 = \(\overline{aaa}\) 

                 (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = \(\overline{aaa}\) \(\times\) 2 

                 (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 2 \(\times\) 111 \(\times\) a 

                (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 2 \(\times\) 3 \(\times\) 37 \(\times\) a

                (\(x\) + 1)\(\times\) \(x\) = 37\(\times\)6\(\times\)a = 74\(\times\)3\(\times\)a = 111 \(\times\) 2 \(\times\) a 

   ⇒  6 \(\times\) a = 36;  38;   3  \(\times\) a = 73; 75;     2 \(\times\) a  = 110; 112 

Lập bảng ta có: 

Vậy a = 6 ⇒ (\(x\) + 1) \(\times\) \(x\) = 37 \(\times\) 36 ⇒ \(x\) = 36

Đáp số \(x\) = 36; a = 6 

 Ta thấy rằng \(1+2+3+...+x=\dfrac{x\left(x+1\right)}{2}\) nên điều kiện đề bài tương đương với \(\dfrac{x\left(x+1\right)}{2}=\overline{aaa}=100a+10a+a\) \(=111a\)

 \(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=222a\). Ta thấy \(x\ge11\) vì nếu không \(x^2+x\le110< 111\). Tương tự thì \(x\le31\) vì nếu không \(x^2+x\ge1056>999\). Từ đó suy ra \(11\le x\le31\). Mặt khác, \(x\left(x+1\right)=222a\) nghĩa là \(x\left(x+1\right)⋮222\). Nhưng do \(x\) và \(x+1\) nguyên tố cùng nhau nên \(x⋮222\) hoặc \(x+1⋮222\). Nhưng với \(11\le x\le31\) thì rõ ràng điều này không thể thỏa mãn.

 Vậy, không tồn tại số tự nhiên \(x\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: \(1+2+3+\cdots+x=\overline{aaa}\)

=>\(\frac{x\left(x+1\right)}{2}=111\cdot a\)

=>\(x\left(x+1\right)=222\cdot a=37\cdot6a\)

=>6a=36

=>a=6

=>\(x\left(x+1\right)=37\cdot6a=37\cdot6\cdot6=37\cdot36\)

=>x=36

1/2=2/4 , 1/14=2/28 , 1/35=2/70

ta có: 2/4=2/1.4 , 2/28=2/4.7 , 2/70=2/7.10 ................

thay vào ta có:  2/1.4+2/4.7+2/7.10+........+2/x(x+3)=1340/2011

2.(1/1.4+1/4.7+1/7.10+....+1/x(x+3)=1340/2011

2.3.(1/1.4+1/4.7+1/7.10+....+1/x(x+3)=(1340/2011).3

2.(3/1.4+3/4.7+3/7.10+......+3/x(x+3)=4020/2011

2.(1- 1/4 + 1/4- 1/7 + 1/7- 1/10 +.......+1/x - 1/x+3)=4020/2011

1-1/x+3 =4020/2011 :2= 2010/2011

1- 2010/2011=1/x+3

1/2011=1/x+3

x+3= 2011

x=2008

a; Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có dạng:

  n; n + 1; n + 2

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có là:

n  + n + 1 + n  +2 = 3n + 3 = 3.(n+  1) ⋮ 3(đpcm)

1, ĐỀ SAI EM NHÉ, PHẢI LÀ 32 CHỮ SỐ MÓI ĐÚNG

ta có: \(2C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

=> \(C=2C-C=2^{100}-1\Rightarrow C+1=2^{100}=2.\left(2^3\right)^{33}=2.8^{33}\)

Vậy => \(2.10^{32}< 2.8^{33}< 2.10^{33}\)

=> C +1 có 32 chữ số

2, Có: \(3^{x+2}+3^{x+1}+3^x< 1053\Leftrightarrow3^x\left(3^2+3+1\right)< 1053\)

\(\Leftrightarrow13.3^x< 1053\Leftrightarrow3^x< 81=3^4\Leftrightarrow x< 4\)

Vậy x=1,2,3

3, Ta có: a= 135k +88= 120k+15k +88

Do a cia 120 dư 58 => 15k+88 dư 58 => 15k + 30 chia hết cho 120

Do a nhỏ nhất nên chọn k thỏa mãn: 15k+30=120 <=> k=

=> số a là: 135.6+88=898

1)

C = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹

2C = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰

2C - C = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ ) - ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹ )

C = 2¹⁰⁰ - 1

=> C + 1 = 2¹⁰⁰ - 1 + 1 = 2¹⁰⁰

ta có : 10³⁰ < 2¹⁰⁰ vì 10³⁰ = ( 10³ ) ¹⁰ = 1000¹⁰ < 2¹⁰⁰ = ( 2¹⁰ ) ¹⁰ = 1024¹⁰

lại có : 2¹⁰⁰ = 2³¹ . 2⁶⁹ = 2³¹ . 2⁶³ . 2⁶ = 2³¹ . ( 2⁹ ) ⁷ . 64 = 2³¹ . 512⁷ . 64 = 2³¹ . ( 512⁷ . 64 )

10³¹ = ( 2 . 5 ) ³¹ = 2³¹ . 5³¹ = 2³¹ . 5²⁸ . 5³ = 2³¹ . ( 5⁴ ) ⁷ . 125 = 2³¹ . 625⁷ . 125 = 2³¹ . ( 625⁷ . 125 )

Vì 512⁷ . 64 < 625⁷ .125 nên 2³¹ . ( 512⁷ . 64 ) < 2³¹ . ( 625⁷ . 125 ) hay 2¹⁰⁰ < 10³¹

10³⁰ là số bé nhất có 31 chữ số ; 10³¹ là số bé nhất có 32 chữ số

Mà 10³⁰ < 2¹⁰⁰ < 10³¹ 

=> 2¹⁰⁰ là số có 31 chữ số

Vậy C + 1 là số có 31 chữ số