O M A B C

Xét đường tròn tâm O ta có :

góc MAB = góc MCA = 1/2 sđ cung AB

Xét tam giác MAB và tam giác MCA có :

góc MAB = góc MCA 

góc AMC Chung 

=> \(\Delta MAB\sim\Delta MCA\)

=.> \(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\)

=> MA²=MC.MB

<=> 6²=12.MB

=>MB =3cm 

vậy MB = 3 cm

a: Xét tứ giác MAOB có 

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp

a) Ta có

MAMA là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 ⇒⇒ MA⊥OAMA⊥OA => ˆMAO=90°MAO^=90° 

MBMB là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 ⇒⇒ MB⊥OBMB⊥OB => ˆMBO=90°MBO^=90°

Xét tứ giác MAOBMAOB có ˆMAO+ˆMBO=180°MAO^+MBO^=180° mà chúng ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác MAOBMAOB là tứ giác nội tiếp 

⇒⇒ M,A,O,BM,A,O,B cùng thuộc 11 đường tròn

b) Ta có MA,MBMA,MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại MM

⇒⇒ MA=MBMA=MB ⇒⇒ MOMO là tia phân giác ˆAMBAMB^

Xét ΔAMI∆AMI và ΔBMI∆BMI 

Có MA=MBMA=MB (cmt)

ˆAMI=ˆBMIAMI^=BMI^ (cmt) 

MIMI chung => ΔAMI=ΔBMI∆AMI=∆BMI (c.g.c)

⇒⇒ ˆAIM=ˆBIMAIM^=BIM^ 

Mà ˆAIM+ˆBIM=180°AIM^+BIM^=180° (kề bù)

⇒⇒ ˆAIM=180°2=90°AIM^=180°2=90°

⇒⇒ MO⊥ABMO⊥AB tại II

c) Ta có: ˆBDC=90°BDC^=90°(Góc nội tiếp chắn đường kính BCBC) 

⇒⇒ ΔBDC∆BDC vuông tại D⇒BD⊥CDD⇒BD⊥CD

ΔBCM⊥BΔBCM⊥B (do BMBM là tiếp tuyến của (O))

Hệ thức lượng vào ΔBCM⊥B,BD⊥CDΔBCM⊥B,BD⊥CD (chứng minh trên) ta có:

BM2=MD.MCBM2=MD.MC (1)

Xét ΔMAO∆MAO vuông tại A

AI⊥OMAI⊥OM (Vì AB⊥OMAB⊥OM) ⇒⇒ AM2=MI.MOAM2=MI.MO (2)

mà AM=BMAM=BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3) 

Từ (1), (2) và (3) ⇒⇒ MD.MC=MA2=MI.MOMD.MC=MA2=MI.MO

d) Xét ΔEOM∆EOM cà ΔIOF∆IOF 

ˆEOMEOM^ chung 

ˆOIF=ˆOEM=90°OIF^=OEM^=90° (gt &cm)

⇒⇒ ΔEOM∼ΔIOF∆EOM∼∆IOF (g.g)

⇒⇒ OEOI=OMOFOEOI=OMOF (tỉ số đồng dạng)

⇒⇒ OE.OF=OM.OIOE.OF=OM.OI

Lại có ΔOAM∆OAM vuông tại AA

Mà AI⊥OMAI⊥OM (cmt)

⇒⇒ OA2=OI.OMOA2=OI.OM Mà OA=OC=ROA=OC=R

⇒⇒ OC2=OF.OEOC2=OF.OE

⇒⇒ OCOE=OFOCOCOE=OFOC

Xét ΔOCF∆OCF và ΔOCE∆OCE có 

ˆCOFCOF^ chung 

OCOE=OFOCOCOE=OFOC

⇒⇒ ΔOCF∼ΔOEC∆OCF∼∆OEC (c.g.c)(c.g.c)

⇒⇒ ˆOFC=ˆOCE=90°OFC^=OCE^=90°

⇒⇒ OC⊥CFOC⊥CF tại C

⇒⇒ FCFC là tiếp tuyến của đường tròn 

(ĐPCM)

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có 

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi dây cung CA và tiếp tuyến AM

Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{CAM}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔMDA và ΔMAC có 

\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)

\(\widehat{AMD}\) là góc chung

Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)

⇔\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MA}{MC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔\(MA^2=MC\cdot MD\)(đpcm)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:

\(MA^2=MH\cdot MO\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)(đpcm)

c) để chứng minh EC là tiếp tuyến:

chứng minh tứ giác OECH nội tiếp thì ta sẽ có góc OHE=OCE=90o(đpcm)

=> cần chứng minh tứ giác OECH nội tiếp:

ta có: DOC=DHC (ccc CD)

xét MHC=MDO (tam giác MCH~MOD)= OCD (vì DO=OC)=OHD (cùng chắn OD) => HA là phân giác CHD

DOC=DHC => 1/2 DOC= 1/2 DHC =COE=CHE

mà COE với CHE cùng chắn cung CE trong tứ giác OHCE nên tứ giác đấy nội tiếp => xong :))))

a: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên OH*OM=OA^2=R^2 ko đổi

b: Xét tứ giác MAIO có

góc MAO=góc MIO=90 độ

nên MAIO là tứ giác nội tiếp

a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥CD tại I

Xét tứ giác OIAM có \(\hat{OIM}=\hat{OAM}=90^0\)

nên OIAM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

=>O,I,A,M cùng thuộc một đường tròn

b: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên OI là phân giác của góc COD

Xét ΔODK và ΔOCK có

OD=OC

\(\hat{DOK}=\hat{COK}\)

OK chung

Do đó: ΔODK=ΔOCK

=>\(\hat{ODK}=\hat{OCK}\)

=>\(\hat{OCK}=90^0\)

=>KC là tiếp tuyến của (O)

c: Xét ΔODK vuông tại D có DI là đường cao

nên \(OI\cdot OK=OD^2=R^2\left(1\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OM\)

d: \(OI\cdot OK=OH\cdot OM\)

=>\(\frac{OI}{OM}=\frac{OH}{OK}\)

=>\(\frac{OI}{OH}=\frac{OM}{OK}\)

Xét ΔOIM và ΔOHK có

\(\frac{OI}{OH}=\frac{OM}{OK}\)

góc IOM chung

Do đó: ΔOIM~ΔOHK

=>\(\hat{OIM}=\hat{OHK}=90^0\)

=>MI⊥OK tại I

Xét tứ giác KIHM có \(\hat{KIM}=\hat{KHM}=90^0\)

nên KIHM là tứ giác nội tiếp

=>K thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔMHI

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA^2=MC*MD=MH*MO

=>MC/MO=MH/MD

=>ΔMCH đồng dạng với ΔMOD

=>góc MCH=góc MOD

=>góc HOD+góc HCD=180 độ

=>HODC nội tiếp