Xét ΔABC có: AB=AC

=> ΔABC cân tại A

Mà AD là tia phân giác \(\widehat{A}\)nên AD đồng thời là đường cao của  ΔABC (tính chất)

=> AD vuông góc với BC

phần b) là : 4DM<BC nha các anh chị

a) vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> góc DAB = góc DAC= góc BAC/2

mà ta có góc ADB=góc DAC+ góc C

thay góc DAC= góc DAB vào ta có:

góc ADB= góc DAB+ góc C

vì góc C>0

=> góc ADB> góc DAB

=> AB>BD9đpcm)

b) ta có góc A+ góc C= 180 độ- góc B

vì góc B>60 độ

=> góc A+ góc C> 120 độ

mà góc ADB= góc DAC + góc C= góc A/2+ góc C

góc ADB= ( góc A+ 2 x góc C)/2=( góc A+ góc C)/2 + góc C/2

do góc A+ góc C>120 độ và góc C>0 độ

=> góc ADB> 120 độ+0 độ= 60 độ

vì góc ADB>60 độ mà góc B < 60 độ

=> góc ADB> góc B

=> AB>AD

vì AD là tia phân giác của góc BAC

=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow BD=CD\cdot\frac{AB}{AC}\)

vì AM là tia phân giác của góc DAC

=> \(\frac{DM}{MC}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow MC=DM\cdot\frac{AC}{AD}\)

ta có CD= \(DM+MC=DM+DM\cdot\frac{AC}{AD}=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\)

thay vào BD=\(CD\cdot\frac{AB}{AC}\) ta có:

\(BD=DM\left(1+\frac{AC}{AD}\right)\cdot\frac{AB}{AC}=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)\)

mà BC=\(BD+CD=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}\right)+DM\left(1+\frac{AC}{AD}_{}\right)\)

\(BC=DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{AD}+\frac{AC}{AD}+1\right)\)

áp dụng bđt cauchy cho hai số hạng đầu và số hạng cuối trong ngoặc

ta có \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}\ge2\sqrt{\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AC}{AD}}=2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}\ge\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}\)

vì AB>AD=> \(\frac{AB}{AD}>1;\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1\)

=> \(\frac{AB}{AD}+2\sqrt{\frac{AB}{AD}}>1+2=3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}>3\)

=> \(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1>4\)

=> \(DM\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AD}+\frac{AB}{AD}+1\right)>4DM\)

=> \(BC>4DM\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

1. Xét tam giác $ABD$ và $ACD$ có:

$AB=AC$

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (do $AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$)

$AD$ chung

$\Rightarrow \triangle BAD=\triangle CAD$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ 

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0$

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADC}=180^0:2=90^0$

$\Rightarrow AD\perp BC$

2.

$AB=AC$

$BE=CF$

$\Rightarrow AB-BE=AC-CF$ hay $AE=AF$

Xét tam giác $AED$ và $AFD$ có:

$AD$ chung

$AE=AF$

$\widehat{EAD}=\widehat{FAD}$ 

$\Rightarrow \triangle AED=\triangle AFD$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{FDA}$ 

$\Rightarrow DA$ là tia phân giác $\widehat{EDF}$

1: Xét ΔADB và ΔADC có

AB=AC

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

AD chung

Do đó: ΔADB=ΔADC

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AD\(\perp\)BC

2: Ta có: AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà EB=FC và AB=AC

nên AE=AF

Xét ΔEAD và ΔFAD có

AE=AF

\(\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\)

AD chung

Do đó: ΔEAD=ΔFAD

=>\(\widehat{EDA}=\widehat{FDA}\)

=>DA là phân giác của góc EDF

tham khảo

hình