Bạn tham khảo:

Đáp án D

Dựng 

Dựng 

Khi đó Cx cắt AB tại E và AK tại I suy ra BI là đường trung bình của ∆AEK ( Do BD qua trung điểm O của AC)

Ta có: 

Do 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$. Ta sẽ xác định $b$ sau.

Vì $BC = 2a$ và $BD = a\sqrt{10}$, đặt $C$ sao cho đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Ta chọn $C(a+c,d,0)$, nhưng để đơn giản, ta có thể đặt $C$ theo tọa độ $C$ sao cho $BC = 2a$.

Trung điểm $H$ của $AB$: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$ là hình chiếu của $S$ ⇒ $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Xét góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy:

Hình chiếu $H$ ⇒ độ cao $SH = h$, đường chéo $SD$ → góc với đáy 60° ⇒ $\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SD}$

Cạnh $SD = \sqrt{(\dfrac{a}{2}-x_D)^2 + (0 - y_D)^2 + h^2}$

Với $D(0,b,0)$, ta có: $SD = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}$

Theo đề: $\sin 60^\circ = \dfrac{h}{\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2} \Rightarrow 3\left(\frac{a^2}{4} + b^2 + h^2\right) = 4 h^2$

⇒ $\frac{3 a^2}{4} + 3b^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \frac{3a^2}{4} + 3b^2$

Ta cần xác định $b$ từ dữ kiện đáy:

$BD^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \Rightarrow b^2 = 9a^2 \Rightarrow b = 3a$

Vậy: $h^2 = \dfrac{3 a^2}{4} + 3 \cdot (3a)^2 = \dfrac{3a^2}{4} + 27 a^2 = \dfrac{111 a^2}{4}$

⇒ $h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang):

$AD \parallel BC$, $AD$ chưa biết, nhưng hình thang vuông tại $A$ và $B$ ⇒ $AD = ?$

Đặt $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,3a,0), C(2a,3a,0)$ để thỏa mãn $BC = 2a$ và $BD^2 = a^2 + 3a^2 = 10 a^2$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a)\cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Chọn đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \implies b^2 = 9 a^2 \implies b = 3a$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{SD_x^2 + SD_y^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

với $SD_x^2 + SD_y^2 = \left(\dfrac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 3a)^2 = \dfrac{a^2}{4} + 9 a^2 = \dfrac{37 a^2}{4}$.

Giải ra $h$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2}} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.