\(a=1>0\) ; \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-2\right)=\left(m-2\right)\left(m-3\right)\)

a/ Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1\le0< 1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\le0\\1-\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Do đó các câu c, f cũng không tồn tại m thỏa mãn

b/ TH1: \(\Delta< 0\Rightarrow2< m< 3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\notin\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Delta>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\)

\(0\le x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-2\ge0\\m-2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\) \(\Rightarrow m>3\)

\(x_1< x_2\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-m\ge0\\m-2< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m

Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow m\ge2\)

d/ Tương tự như câu b, nhưng

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=0\\-\frac{b}{2a}\in\left[0;1\right]\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0< x_1< x_2\\x_1< x_2< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m>3\)

Kết hợp 3 TH \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2< m< 3\\m>3\end{matrix}\right.\)

e/

TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow2\le m\le3\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left[{}\begin{matrix}0\le x_1< x_2\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>3\)

\(\Rightarrow m\ge2\)

\(f\left(x\right)=x^2-2\left(m-1\right)x+m-2\)

Yêu cầu bài toán thõa mãn khi \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm thỏa mãn \(x_1\le1< 3\le x_2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-3m+3\ge0\\f\left(1\right)\le0\\f\left(3\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in R\\-m+1\le0\\15-5m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\ge3\)

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Có cách nào khác nx ạ?

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m+5\right)=4\left(m^2-2m+1-m-5\right)=4\left(m^2-3m-4\right)\)

=4(m-4)(m+1)

Để bất phương trình luôn đúng với mọi x thì Δ<0 và a>0

=>4(m-4)(m+1)<0 và 1>0

=>(m-4)(m+1)<0

=>-1<m<4

a: TH1: m=-1

BPT sẽ trở thành: \(\left(-1+1\right)x^2-2\left(-1+1\right)x+4\ge0\)

=>4>=0(đúng)

=>Nhận

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+1\right)\right\rbrack^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot4\)

\(=4\left(m+1\right)^2-16\left(m+1\right)=4\left(m+1\right)\left(m+1-4\right)=4\left(m+1\right)\left(m-3\right)\)

Để bất phương trình luôn đúng thì Δ<=0 và a>0

=>4(m+1)(m-3)<=0 và m+1>0

=>(m+1)(m-3)<=0 và m>-1

=>-1<=m<=3 và m>-1

=>-1<m<=3

Vậy: -1<=m<=3

b: TH1: m=-1

BPT sẽ trở thành:

\(\left(-1+1\right)x^2-2\cdot\left(-1\right)\cdot x-\left(-1-3\right)<0\)

=>2x+4<0

=>2x<-4

=>x<-2

=>Loại

TH2: m<>-1

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\left\lbrack-\left(m-3\right)\right\rbrack\)

\(=4m^2+4\left(m+1\right)\left(m-3\right)=4\left(m^2+m^2-3m+m-3\right)=4\left(2m^2-2m-3\right)\)

Để BPT vô nghiệm thì Δ<=0 và a>0

=>\(2m^2-2m-3\) <=0 và m+1>0

=>\(m^2-m-\frac32\) <=0 và m>-1

=>\(m^2-m+\frac14-\frac74\) <=0 và m>-1

=>\(\left(m-\frac12\right)^2\le\frac74\) và m>-1

=>\(\frac{-\sqrt7}{2}\le m-\frac12\le\frac{\sqrt7}{2}\) và m>-1

=>\(\frac{-\sqrt7+1}{2}\le m<=\frac{\sqrt7+1}{2}\) và m>-1

=>\(\frac{-\sqrt7+1}{2}\le m<=\frac{\sqrt7+1}{2}\)

c: \(\Delta=2^2-4\cdot\left(-1\right)\left(m-2018\right)\)

=4+4(m-2018)

=4(m-2018+1)

=4(m-2017)

Để BPT luôn đúng với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>4(m-2017)<0 và -1<0(đúng)

=>m-2017<0

=>m<2017

\(\Delta'=m^2-2m+3>0\) ; \(\forall x\)

Do đó bài toán thỏa mãn khi pt \(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm thỏa mãn: \(x_1< -1< 2< x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(-1\right)< 0\\a.f\left(2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.\left(1-2m+2m-3\right)< 0\\1\left(4+4m+2m-3\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow6m+1< 0\Rightarrow m< -\dfrac{1}{6}\)