Áp dụng BĐT cosi:

\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)

Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)

\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)

Giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(P=a+b+c=\left(a-5\right)+\left(b-4\right)+\left(c-3\right)+12\) 

\(=\sqrt{\left(a-5\right)^2}+\sqrt{\left(b-4\right)^2}+\sqrt{\left(c-3\right)^2}+12\) 

\(\ge\sqrt{\left(a-5\right)^2+\left(b-4\right)^2+\left(c-3\right)^2}+12\)

\(\ge12\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow a=5;b=4;c=3\)

Vậy \(min_P=12\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(5;4;3\right)\) hoặc các hoán vị

Đặt giá trị chung là $k$:

$\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}=k$

Ta có:

$a+b=(k+1)c$

$b+c=(k+1)a$

$c+a=(k+1)b$

Cộng 3 đẳng thức:

$2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)$

$k+1=2$

$k=1$

Suy ra:

$a+b=2c$

$b+c=2a$

$c+a=2b$

Từ hai đẳng thức:

$a+b=2c$

$b+c=2a$

suy ra $a=c$, rồi suy ra $a=b=c$.

Khi đó:

$B=(1+1)(1+1)(1+1)$

$B=8$.

Khi đó:

$c=-(a+b)$

$B=\dfrac{a+b}{a}\cdot\dfrac{a+c}{c}\cdot\dfrac{b+c}{b}$

$=\dfrac{a+b}{a}\cdot\dfrac{-b}{c}\cdot\dfrac{-a}{b}$

$=\dfrac{a+b}{c}$

$=-1$.

Vậy nếu đề không cho $a+b+c\ne0$, có hai giá trị:

$B=-1$ hoặc $B=8$.

Còn nếu đề có điều kiện $a+b+c\ne0$ thì:

$B=8$.

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\)

<=> \(\frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\)

<=> \(\frac{9a}{a+b}=\frac{9b}{b+c}\)

<=> \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}\)

=> a(b + c) = b(a + b)

<=> ab + ac = ba + b²

=> ac = b² (đpcm)

ac=b²