ới xem trên VMF về :))

Viết lại bất đẳng thức như sau:

\((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2) +\frac{(xyz+1)^2}{2}\,\,\,(1)\)

Ta có

Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(x^4+y^2\ge2x^2y\)

\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

 \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{3}{2xy}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{3}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=\frac{10}{\left(x+y\right)^2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)

Vậy \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{10}{\left(x+y\right)^2}\) với \(\forall x;y>0\)

A=\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+y\right)=x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}+1+y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+1\)

=\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

mà x²+y²=1

=>2(x²+y²)>(=)(x+y)²

\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\ge\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)+4\)

                                                                            \(=\left[\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\right]+4\ge2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4=4+3\sqrt{2}\)

Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Nga - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

lớp 9 hở.... ặc ặc...............

nhầm,mấy bất đẳng thức tính cực trị từ cô si

dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé