Sửa đề: \(S=5+5^2+5^3+\cdots+5^{2019}\) Chứng minh 4S+5 là số chính phương

Ta có: \(S=5+5^2+5^3+\cdots+5^{2019}\)

=>\(5S=5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{2020}\)

=>5S-S=\(5^2+5^3+5^4+\cdots+5^{2020}-5-5^2-5^3-\cdots-5^{2019}\)

=>4S=\(5^{2020}-5\)

=>4S+5=\(5^{2020}=\left(5^{1010}\right)^2\)

=>4S+5 là số chính phương

3S=3(1+3+3^2+3^3+..+3^2022)

3S=3+3^2+3^3+3^4+...+3^2023

mà S=1+3+3^+3^3+...+3^2022

3S-S=3^2023-1

2S=3^2023-1

S=3^2023-1/2

Ta có: \(M=5+5^2+5^3+\cdots+5^{80}\)

\(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdots+\left(5^{79}+5^{80}\right)\)

\(=\left(5+5^2\right)+5^2\left(5+5^2\right)+\cdots+5^{78}\left(5+5^2\right)\)

\(=30\left(1+5^2+\cdots+5^{78}\right)\) ⋮10

=>M có tận cùng là 0

Ta có: \(M=5+5^2+5^3+\cdots+5^{80}\)

=>\(M=5\left(1+5+5^2+\cdots+5^{79}\right)\)

Vì \(1+5+5^2+\cdots+5^{79}\) không chia hết cho 5

nên M sẽ không chia hết cho 5*5

=>M không chia hết cho 25

mà M có tận cùng là 0

nên M không thể là số chính phương được

\(A=5+5^2+5^3+...+5^{2021}\)

\(=5\left(1+5\right)+5^2\left(1+5\right)+...+5^{2020}\left(1+5\right)\)

\(=5.6+5^2.6+...+5^{2020}.6\)

\(=6\left(5+5^2+...+5^{2020}\right)\)

Vì \(6\left(5+5^2+...+5^{2020}\right)\) ⋮6

⇒A không là số chính phương

thanks

Lời giải:

Hiển nhiên \(S>0\)

\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{51}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{51}=\frac{50}{51}<1\)

Do đó $0< S<1$ nên $S$ không là số tự nhiên.

là có nha 

HT

3S = 1.2.3+2.3.3+3.4.3+.....+n.(n+1).3

= 1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+.....+n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]

= 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+.....+n.(n+1).(n+2)-(n-1).n.(n+1)

= n.(n+1).(n+2)

=> 3S +n.(n+1).(n^2-2) = n.(n+1).(n+2)+n.(n+1).(n^2-2)

= n.(n+1).(n+2+n^2-2) = n.(n+1).(n^2+n)

= n.(n+1)+n.(n+1) = n^2.(n+1)^2 = [(n.(n+1)]^2 là 1 số chính phương

k mk nha