Bài 1

a, cm : A = 16⁵ + 2¹⁵ ⋮ 3

    A = 16⁵ + 2¹⁵

   A = (2⁴)⁵ +  2¹⁵

  A  = 2²⁰ + 2¹⁵

 A  =  2¹⁵.(2⁵ + 1)

 A = 2¹⁵. 33 ⋮ 3 (đpcm)

b,cm : B = 8⁸ + 2²⁰ ⋮ 17

    B = (2³)⁸ + 2²⁰ 

    B =  2¹⁶ + 2²⁰

    B = 2¹⁶.(1 + 2⁴)

    B = 2¹⁶. 17 ⋮ 17 (đpcm)

c, cm: C = 1 - 2 + 2² - 2³ + 2⁴ - 2⁵ + 2⁶ -...-2²⁰²¹ + 2²⁰²² : 6 dư 1

C=1+(-2+2²-2³+2⁴- 2⁵+2⁶)+...+(-2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁸-2²⁰¹⁹+2²⁰²⁰-2²⁰²¹+2²⁰²²)

C = 1 + 42 +...+ 2²⁰¹⁶.(-2 + 2² - 2³ + 2⁴ - 2⁵ + 2⁶)

C = 1 + 42+...+ 2²⁰¹⁶.42

C = 1 + 42.(2⁰+...+2²⁰¹⁶)

42 ⋮ 6 ⇒ C = 1 + 42.(2⁰+...+2²⁰¹⁶) : 6 dư 1 đpcm

a:Sửa đề: \(10^{n}+18n-1\) chia hết cho 27

Đặt \(A=10^{n}+18n-1\)

\(=\left(10^{n}-1\right)+18n=99\ldots9+18n\) (n chữ số 9)

=9(11...1+2n)⋮9

11..1+2n=n+2n=3n⋮3

=>A⋮9*3

=>A⋮27

b: Sửa đề: \(10^{n}+72n-1\)

Đặt \(B=10^{n}+72n-1\)

\(=\left(10^{n}-1\right)+72n\)

=99...9+72n(n chữ 9)

=9(11...1+8n)

11...1+8n=n+8n=9n⋮9

=>B⋮9*9

=>B⋮81

a: n lẻ nên n=2k+1

\(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=2k\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k+2\right)=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên k(k+1)(k+2)⋮3!=6

=>A=8k(k+1)(k+2)⋮8*6

=>A⋮48

c: n lẻ nên n=2k+1

\(C=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) ⋮4!=24

=>C=16k(k+1)(k-1)(k+2)⋮16*24

=>C⋮384

k 2 k kieu gi

a+4b chia het cho 13

=>a+4b=13k (k nguyen)

a=13k-4b

10.a=130k-40b

10.a+b=130k-39b=13(10k-3b)  chia het cho 13

5n+1 chia het cho 7=> 5n+1=7k

n=7z+4 

a: Đặt \(A=n^5-n\)

Vì 5 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có: \(n^5-n\) ⋮5(1)

\(A=n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên (n-1)n(n+1)⋮3!=6

=>A⋮6

mà A⋮5

và ƯCLN(5;6)=1

nên A⋮6*5

=>A⋮30

b:

n là số lẻ

=>n=2k+1

Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

=(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)

=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3)

=2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)

=16k(k+1)(k+2)(k-1)

Vì k-1;k;k+1;k+2 là bốn số nguyên liên tiếp

nên k(k-1)(k+1)(k+2)⋮4!

=>k(k-1)(k+1)(k+2)⋮24

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)⋮16*24

=>B⋮384

a. S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ +...+ 5²⁰¹². 

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁵(5 + 5² + 5³ + 5⁴)+....+ 5²⁰⁰⁹(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

Vì (5 + 5² + 5³ + 5⁴) = 780 chia hết cho 65

Vậy S chia hết cho 65

b. Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) chia hết cho 11; (a - 1) chia hết cho 4; (a - 11) chia hết cho 19. 

(a - 6 + 33) chia hết cho 11; (a - 1 + 28) chia hết cho 4; (a - 11 + 38) chia hết cho 19.

(a + 27) chia hết cho 11; (a + 27) chia hết cho 4; (a + 27) chia hết cho 19. 

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 27 nhỏ nhất

Suy ra: a + 27 = BCNN (4;11; 19).

Từ đó tìm được: a = 809

A = 10ⁿ + 18n - 1 = 10ⁿ - 1 - 9n + 27n

a. S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ +...+ 5²⁰¹². 

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁵(5 + 5² + 5³ + 5⁴)+....+ 5²⁰⁰⁹(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

Vì (5 + 5² + 5³ + 5⁴) = 780 chia hết cho 65

Vậy S chia hết cho 65

b. Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) chia hết cho 11; (a - 1) chia hết cho 4; (a - 11) chia hết cho 19. 

(a - 6 + 33) chia hết cho 11; (a - 1 + 28) chia hết cho 4; (a - 11 + 38) chia hết cho 19.

(a + 27) chia hết cho 11; (a + 27) chia hết cho 4; (a + 27) chia hết cho 19. 

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 27 nhỏ nhất

Suy ra: a + 27 = BCNN (4;11; 19).

Từ đó tìm được: a = 809

A = 10ⁿ + 18n - 1 = 10ⁿ - 1 - 9n + 27n

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó  nên 

       * Vậy A chia hết cho 27

\(43^{43}-17^{17}\)

\(=43^{40}.43^3-17^{16}.17\)

\(=\overline{.....1}.\overline{.....7}-\overline{.....1}.7\)

\(=\overline{.....7}-\overline{.....7}\)

\(=\overline{.....0⋮}10\)

\(\Rightarrow dpcm\)