Dựng điểm D sao cho H  là trung điểm AD.

Ta có;  H là trung điểm của mỗi đường AD ;  BC. Do đó, tứ giác ACDB là hình bình hành.

a: A(1;3); B(-2;5); C(-4;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;5-3\right)=\left(-3;2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-4-1;0-3\right)=\left(-5;-3\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-4+2;0-5\right)=\left(-2;-5\right)\)

\(\overrightarrow{CB}=\left(-2+4;5-0\right)=\left(2;5\right)\)

b: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=-3\cdot2+2\cdot5=-6+10=4\)

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5\right)\cdot\left(-2\right)+\left(-3\right)\cdot\left(-5\right)=10+15=25\)

c: \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;2\right)\)

=>\(AB=\sqrt{\left(-3\right)^2+2^2}=\sqrt{13}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-2;-5\right)\)

=>\(BC=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\)

e: \(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{CB}\) =\(\left(-3+2\cdot2;2+2\cdot5\right)\)

=(-3+4;2+10)

=(1;12)

a: Gọi H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có AH là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}\)

ΔABC đều có AH là đường trung tuyến

nên \(AH=AB\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(2\cdot AH=3a\sqrt{3}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AH=3a\sqrt{3}\)

b:

Gọi I là trung điểm của AH

I là trung điểm của AH

=>\(IA=IH=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\)

ΔABC đều

mà AH là đường trung tuyến

nên AH vuông góc BC

ΔIHC vuông tại H

=>\(CI^2=HI^2+HC^2\)

=>\(CI^2=\left(\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(1,5a\right)^2=9a^2\)

=>CI=3a

 \(\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|\)

\(=\left|2\cdot\overrightarrow{CI}\right|=2CI\)

\(=2\cdot3a=6a\)

a)các vectow cùng phương với AM LÀ: MA ;MB;BM;BA;AB;PN;NP

b)các vectow cùng hướng  MN là:BP;PC;BC

c)các vectow ngược hướng với BC là:CP;CP;NM

Bài 3: 

\(\text{Δ}=1^2-4\cdot2\cdot\left(-4m-2\right)\)

=1+8(4m-2)

=32m-16+1=32m-15

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>32m-15>0

hay m>15/32

Để phương trình vô nghiệm thì 32m-15<0

hay m<15/32

Để phương trình có nghiệm kép thì 32m-15=0

hay m=15/32

a: ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và \(AC^2=AB^2+BC^2\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=a\cdot a\sqrt{2}\cdot cosBAC\)

\(=a^2\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

b: Vì ABCD là hình vuông

nên AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)

\(=0-\overrightarrow{AB}^2+0=-4a^2\)

a: A(3;1); B(1;3); C(3;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)

b: \(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{0^2+4^2}=4\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt2+2\sqrt2+4=4+4\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(BA^2+BC^2=AC^2\)

nên ΔBAC vuông tại B

=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2=4\)

c:

A(3;1); B(1;3); C(3;5)

Tọa độ trung điểm của AB là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm của AC là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+3}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm của BC là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{3+5}{2}=\frac82=4\end{cases}\)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+1+3}{3}=\frac73\\ y=\frac{1+3+5}{3}=\frac93=3\end{cases}\)

=>G(7/3;3)

ΔBAC vuông tại B

=>ΔBAC nội tiếp đường tròn đường kính AC

=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là trung điểm của AC

=>Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là M(3;3)

ΔABC vuông tại B

=>B là trực tâm của ΔABC

=>Tọa độ trực tâm của ΔABC là B(1;3)

d: A(3;1);B(1;3)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)=\left(-1;1\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-3)+1(y-1)=0

=>x-3+y-1=0

=>x+y-4=0

A(3;1); C(3;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-4;0)

Phương trình đường thẳng AC là:

-4(x-3)+0(y-1)=0

=>-4(x-3)=0

=>x-3=0

=>x=3

B(1;3); C(3;5)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-1;1)

Phương trình BC là:

-1(x-1)+1(y-3)=0

=>-x+1+y-3=0

=>-x+y-2=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\)

=>đường cao AH sẽ đi qua A(3;1) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình AH là:

2(x-3)+2(y-1)=0

=>x-3+y-1=0

=>x+y-4=0

B(1;3); M(3;3)

\(\overrightarrow{BM}=\left(3-1;3-3\right)=\left(2;0\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (0;-2)

Phương trình BM là:

0(x-01)+(-2)(y-3)=0

=>-2(y-3)=0

=>y-3=0

=>y=3

e: A(3;1) là trung điểm của NM

=>\(x_{N}+x_{M}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{M}=2\cdot1=2\)

B(1;3) là trung điểm của MP

=>\(x_{M}+x_{P}=2\cdot1=2;y_{M}+y_{P}=2\cdot3=6\)

C(3;5) là trung điểm của NP

=>\(x_{N}+x_{P}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{P}=2\cdot5=10\)

\(\left(x_{N}+x_{M}\right)-\left(x_{M}+x_{P}\right)=6-2=4\)

=>\(x_{N}-x_{P}=4\)

mà \(x_{N}+x_{P}=6\)

nên \(x_{N}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5;x_{P}=6-5=1\)

\(x_{M}=2-x_{P}=2-1=1\)

\(\left(y_{N}+y_{M}\right)-\left(y_{M}+y_{P}\right)=2-6\)

=>\(y_{N}-y_{P}=-4\)

mà \(y_{N}+y_{P}=10\)

nên \(y_{N}=\frac{-4+10}{2}=\frac62=3;y_{P}=10-3=7\)

\(y_{M}+y_{P}=6\)

=>\(y_{M}=6-7=-1\)

M(1;-1); N(5;3); P(1;7)

M(1;-1); P(1;7)

=>\(\overrightarrow{MP}=\left(1-1;7+1\right)=\left(0;8\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-8;0)

Phương trình MN là:

-8(x-1)+0(y+1)=0

=>-8(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1

N(5;3); P(1;7)

\(\overrightarrow{NP}=\left(1-5;7-3\right)=\left(-4;4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình NP là:

1(x-5)+1(y-3)=0

=>x-5+y-3=0

=>x+y-8=0

...

Tham khảo:

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a.\)

Dựng hình bình hành ABDC tâm O như hình vẽ.

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Vì tứ giác ABDC là hình bình hành, lại có \(AB = AC = BD = CD = a\) nên ABDC là hình thoi.

\( \Rightarrow AD = 2AO = 2.AB.\sin B = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = a\) và \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \).