a² + b² + c² = ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )²

<=> a² + b² + c² = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²

<=> a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ( bớt a² + b² + c² ở cả hai vế )

<=> a² + b² + c² - 2( ab + bc + ca ) = 0

<=> a² + b² + c² - 2.9 = 0

<=> a² + b² + c² - 18 = 0

<=> a² + b² + c² = 18

Xét ( a + b + c )² ta có :

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 

                     = ( a² + b² + c² ) + 2( ab + bc + ca )

                     = 18 + 2.9

                     = 18 + 18 = 36

=> ( a + b + c )² = 36

=> a + b + c = 6 ( do a, b, c là các số dương )

Lời giải:

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)

\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)

\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)

\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)

$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$

Ta có $\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=a+b$ nên $m=(a+b)+(b+c)+(c+a)$$=2(a+b+c)$

Nhưng điều kiện đề cho:

$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2+ac+c^2}=1006$

không suy ra được $a+b+c=503$.

Ví dụ lấy $a=b=c=t$ thì điều kiện trở thành $\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3}=1006$

$t=3018$ khi đó $m=6t=18108$.

Vậy câu 1 không đủ dữ kiện để có một giá trị $m$ duy nhất.

Ta có: $a+b+c=\dfrac12$

Bình phương hai vế:

$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=\dfrac14$

Mà: $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\dfrac16$

Lấy hai đẳng thức trừ nhau:

$ab+bc+ca=\dfrac14-\dfrac16=\dfrac1{12}$

Tuy nhiên:

$p=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$ vẫn còn phụ thuộc vào $abc$, nên hai điều kiện trên chưa đủ để xác định $p$.

Nếu đề có thêm điều kiện như $a=b=c$ hoặc một điều kiện khác thì mới tính được.

ta có a+b+c=6=> (a+b+c)^2=36

<=> a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=36

<=> a^2+b^2+c^2=36-2(ab+bc+ca) (1)

theo đề bài ta có 

(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=a^2+b^2+c^2

<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=a^2+b^2+c^2

<=> 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2

<=>-2(ab+bc+ca )=-(a^2+b^2+c^2)

<=> ab+bc+ca=(a^2+b^2+c^2)/2 (2)

(1),(2)=> ab+bc+ca=[36-2(ab+bc+ca)]/2

2(ab+bc+ca)=36-2(ab+bc+ca)

4(ab+bc+ca)=36

vậy ab+bc+ca=9