Đặt: \(\left|x-2017\right|=t\ge0\) ta có: \(l=\frac{t+2017}{t+2018}=\frac{t+2018-1}{t+2018}=1-\frac{1}{t+2018}\ge1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(t=0\Leftrightarrow x=2017\)

Đặt: |x−2017|=t≥0 ta có: l=t+2017t+2018 =t+2018−1t+2018 =1−1t+2018 ≥1−12018 =20172018 

Dấu "=" xảy ra khi: t=0⇔x=2017

 ...

..

\(C=\dfrac{\left|X-2017\right|+2018}{\left|X-2017\right|+2019}=\dfrac{\left(\left|X-2017\right|+2019\right)-1}{\left|X-2017\right|+2019}=1-\dfrac{1}{\left|X-2017\right|+2019}\)

\(\text{Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi }\left|x-2017\right|+2019\text{ có giá trị nhỏ nhất}\)

\(\text{Mà }\left|x-2017\right|\ge0\text{ nên }\left|x-2017\right|+2019\ge2019\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra khi }x=2017\Rightarrow C=\dfrac{2018}{2019}\)

\(\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của C là }\dfrac{2018}{2019}\text{ khi }x=2017\)

Sao chép

\(C=\dfrac{|x-2017|+2018}{|x-2017|+2019}\)

\(=\dfrac{|x-2017|+2018+1-1}{|x-2017|+2019}\)

\(=\dfrac{|x-2017|2019-1}{|x-2017|+2019}\)

\(=\dfrac{|x-2017|+2019}{|x-2017|+2019}-\dfrac{1}{|x-2017|+2019}\)

\(=1-\dfrac{1}{|x-2017|+2019|}\)

Để C đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\dfrac{1}{|x-2017|+2019}\) là số dương nhỏ nhất

\(=> |x-2017|+2019\) là số dương nhỏ nhất

Ta có : \(|x-2017|\geq0\forall{x} \) dấu "=" xảy ra khi x=2017

\(=>|x-2017|+2019\geq2019\forall{x}\)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(C=1-\dfrac{1}{2019}=\dfrac{2018}{2019}\) khi x = 2017

Vậy.....

vì |x+2017|\(\ge\)0

=> |x+2017|+2018\(\ge\)2018

|x+2017|+2019\(\ge\)2019

=> GTNN của \(\dfrac{\left|x+2017\right|+2018}{\left|x+2017\right|+2019}\)=\(\dfrac{2018}{2019}\)

Đặt \(t=\left|x+2017\right|\ge0\)

Đặt biểu thức là T, ta có:

\(T=\dfrac{t+2018}{t+2019}=\dfrac{t+2019-1}{t+2019}=1-\dfrac{1}{t+2019}\)

Ta có: \(t\ge0\Rightarrow t+2019\ge2019\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{t+2019}\le\dfrac{1}{2019}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{t+2019}\ge-\dfrac{1}{2019}\)

\(\Rightarrow T\ge1-\dfrac{1}{2019}=\dfrac{2008}{2009}\)

GTNN của T là \(\dfrac{2008}{2009}\) khi \(t=0\Leftrightarrow\left|x+2017\right|=0\Leftrightarrow x=-2017\)

Ta có:

|x−2015|+|x−2016|+|x−2017||x−2015|+|x−2016|+|x−2017|

=|x−2016|+|x−2015|+|x−2017|=|x−2016|+|x−2015|+|x−2017|

=|x−2016|+(|x−2015|+|x−2017|)=|x−2016|+(|x−2015|+|x−2017|)

∗)∗) Áp dụng BĐT |a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a+b| ta có:

|x−2015|+|x−2017|=|x−2015|+|x−2017|= |x−2015|+|2017−x||x−2015|+|2017−x|

≥|x−2015+2017−x|=|2|=2≥|x−2015+2017−x|=|2|=2

∗)∗) Dễ thấy: |x−2016|≥0∀x|x−2016|≥0∀x

⇔|x−2015|+|x−2016|+|x−2017|⇔|x−2015|+|x−2016|+|x−2017| ≥2≥2

Đẳng thức xảy ra ⇔⎧⎩⎨⎪⎪x−2015≥0x−2016=0x−2017≤0⇔⎧⎩⎨⎪⎪x≥2015x=2016x≤2017⇔{x−2015≥0x−2016=0x−2017≤0⇔{x≥2015x=2016x≤2017 ⇔x=2016⇔x=2016

Vậy GTNNGTNN của biểu thức là 2⇔x=2016