\(c^2 + d^2 + 25 = 6c + 8d\)

=>\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\)

=>\(\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\)

=>c=3 và d=4

P=3*3+4*4-(a*3+b*4)=25-(3a+4b)

\((3a + 4b)^2 \le (3^2 + 4^2)(a^2 + b^2)\)

=>\((3a + 4b)^2 \le (9 + 16) \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50\)

=>\(-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)

=>\(P \le 25 - (-5\sqrt{2}) = 25 + 5\sqrt{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases} \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} < 0 \\ a^2 + b^2 = 2 \end{cases}\)

Đặt \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k\) (k<0)

=>a=3k; b=4k

\(a^2+b^2=2\)

=>\(\left(3k\right)^2+\left(4k\right)^2=2\)

=>\(25k^2=2\)

=>\(k^2=\frac{2}{25}\)

=>\(k=-\frac{\sqrt2}{5}\)

=>\(a=3k=-\frac{3\sqrt2}{5};b=4k=-\frac{4\sqrt2}{5}\)

Ta có:

\(c+d=4\)

\(\Rightarrow\left(c+d\right)^2=4^2\)

\(\Rightarrow c^2+2cd+d^2=16\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+2cd+d^2=2+16=18\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(4a^2+c^2\ge2.2a.c=4ac\)

\(b^2+d^2\ge2bd\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+d^2\ge4ac+2bd\)

\(\Rightarrow4a^2+b^2+c^2+2cd+d^2\ge4ac+2bd+2cd\)

\(\Rightarrow18\ge4ac+2bd+2cd\left(theo\left(1\right)\right)\)

\(\Rightarrow18\ge2\left(2ac+bd+cd\right)\)

\(\Rightarrow9\ge2ac+bd+cd\)

\(\Rightarrow2ac+bd+cd\le9\)

\(\Rightarrow A_{max}=9\Leftrightarrow2a=c;b=d\)

Để max đúng 

BẠN LÀM SAI RỒI phải tìm rõ cả a,b,c,d 

Nếu ko lm sao có dấu bằng xảy ra

vì hệ pt 4a²+b²=2 c=d

              c+d=4; 2a=b

vô nghiệm

12632t54s jsd

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với $a,b>0$ thì $a^2+b^4\ge ab(a^2+b^2)$

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: $(a-b{)}^2(a^2+ab+b^2)\ge 0$ (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

$\Rightarrow \frac{c}{a^4+b^4+c}\le \frac{c}{ab(a^2+b^2)+c^{2}ab}=\frac{c}{ab(a^2+b^2+c^{\mathrm{...}}}$

Nó bị mất cái dấu gạch ngang chỗ phân số nha b

Chọn đáp án D

Lời giải:

Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$

$=(ad+bc)t$

Mà: 

$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$

Tương tự: $t> ac+bd$

Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:

$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$

Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý 

Do đó ta có đpcm.