a) Đặt A = 2018⁴ⁿ + 2019⁴ⁿ + 2020⁴ⁿ

= (2018⁴)ⁿ + (2019⁴)ⁿ + (2020⁴)ⁿ

= (....6)ⁿ + (....1)ⁿ + (....0)ⁿ

= (...6) + (...1) + (...0) = (....7) 

=> A không là số chính phương

b) Đặt 1995 + n = a² (1) 

2014 + n = b² (2)

a;b \(\inℤ\)

=> (2004 + n) - (1995 + n) = b² - a²

=> b² - a² = 9

=> b² - ab + ab - a² = 9

=> b(b - a) + a(b - a) = 9

=> (b + a)(b - a) = 9

Lập bảng xét các trường hợp

Từ a;b tìm được thay vào (1)(2) ta được 

n = -1979 ; n = -2014 ; 

Khẳng định này đúng

TH1: n là số chẵn

=>n=2k

=>\(n^2=\left(2k\right)^2=4k^2\) ⋮4

TH2: n là số lẻ

=>n=2k+1

=>\(n^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4\left(k^2+k\right)+1\)

=>\(n^2\) chia 4 dư 1

=>\(n^2=4a+1\)

do đó: Nếu P là số chính phương thì P chỉ có thể có một trong hai dạng là P=4n hoặc P=4n+1

Đặt \(n^2-3n=m^2\) với \(m\in N\)

\(\Rightarrow4n^2-12n=4m^2\)

\(\Rightarrow4n^2-12n+9=4m^2+9\)

\(\Rightarrow\left(2n-3\right)^2-\left(2m\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left(2n-3-2m\right)\left(2n-3+2m\right)=9\)

Vậy \(n=\left\{0;3;4\right\}\) là các giá trị thỏa mãn

`5.25.2.41.8`

`= 5.50.41.8`

`= 5.400.41`

`= 2000.41`

`= 82000`

Đặt \(n^2+4n+2013=p^2\left(p\in Z\right)\)

\(\Rightarrow n^2+4n+4+2009=p^2\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)^2+2009=p^2\)

\(\Rightarrow p^2-\left(n+2\right)^2=2009\)

\(\Rightarrow\left(p+n+2\right)\left(p-n-2\right)=2009\)

mà \(p+n+2>p-n-2\left(n\in N\right)\) và 2009 là số nguyên tố

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}p+n+2=2009\\p-n-2=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}p+n+2=-2009\\p-n-2=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=1002\\p=1005\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n=1002\) thỏa đề bài

\(n^2+4n+2013=\left(n^2+4n+4\right)+2009=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2+2009=k^2\)

\(\Rightarrow\left(k-n-2\right)\left(k+n+2\right)=2009\)

\(\Rightarrow k-n-2\) và \(k+n+2\) là ước của 2009

Ta có các TH

\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=-1\\k+n+2=-2009\end{matrix}\right.\) 

Hoặc

\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=-2009\\k+n+2=-1\end{matrix}\right.\)

Hoặc

\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=1\\k+n+2=2009\end{matrix}\right.\)

Hoặc

\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-2=2009\\k+n+2=1\end{matrix}\right.\)

Giải các hệ trên tìm n

\(n^2+4n+1265\) là số chính phương

=>\(n^2+4n+4+1261=k^2\left(k\in Z\right)\)

=>\(\left(n+2\right)^2-k^2=-1261\)

=>(n+2-k)(n+2+k)=-1261

=>(n+2-k;n+2+k)∈{(1;-1261);(-1261;1);(-1;1261);(1261;-1);(13;-97);(-97;13);(-13;97);(97;-13)}

TH1: n+2-k=1 và n+2+k=-1261

=>n+2-k+n+2+k=1-1261

=>2n+4=-1260

=>2n=-1264

=>\(n=-\frac{1264}{2}=-632\) (loại)

TH2: n+2-k=-1261 và n+2+k=1

=>n+2-k+n+2+k=1-1261

=>2n+4=-1260

=>2n=-1264

=>\(n=-\frac{1264}{2}=-632\) (loại)

TH3: n+2-k=-1 và n+2+k=1261

=>n+2-k+n+2+k=-1+1261

=>2n+4=1260

=>2n=1260-4=1256

=>n=628(nhận)

TH4: n+2-k=1261 và n+2+k=-1

=>n+2-k+n+2+k=-1+1261

=>2n+4=1260

=>2n=1260-4=1256

=>n=628(nhận)

TH5: n+2-k=13 và n+2+k=-97

=>n+2-k+n+2+k=13-97

=>2n+4=-84

=>2n=-88

=>n=-44(loại)

TH6: n+2-k=-97 và n+2+k=13

=>n+2-k+n+2+k=13-97

=>2n+4=-84

=>2n=-88

=>n=-44(loại)

TH7: n+2-k=-13 và n+2+k=97

=>n+2-k+n+2+k=-13+97

=>2n+4=84

=>2n=80

=>n=40(nhận)

TH8: n+2-k=97 và n+2+k=-13

=>n+2-k+n+2+k=-13+97

=>2n+4=84

=>2n=80

=>n=40(nhận)