Ta có \(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+4\left(\sqrt{b}-1\right)\ge4\sqrt{a}\)

\(\frac{b}{\sqrt{c}-1}+4\left(\sqrt{c}-1\right)\ge4\sqrt{b}\)

\(\frac{c}{\sqrt{a}-1}+4\left(\sqrt{a}-1\right)\ge4\sqrt{c}\)

Cộng các vế của 3 BĐT trên

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{y-1}\ge4x-4y+4\)

Tương tự với hai phân thức còn lại, cộng 3 bđt lại ta đc: \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{z-1}+\frac{z^2}{x-1}\ge4+4+4=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)

bài này đề a,b,c>1 chứ, thay a=b=c=1/4 thì sẽ rõ :)) mấy ông ko biết cứ k sai 

\(\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{c}-1}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}=\frac{t^2}{t-3}=12.,\)

\(t^2-12t+36=0\Leftrightarrow t=6;.\)

=>a =b =c = 4

\(\ge12\)nhé, đánh nhầm 

Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)

⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2

⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự

⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y

⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0

(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)

dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c

Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33 

Bạn làm mất số 1 và nâng bậc ở mẫu như sau:áp dụng bđt cô-si ta có \(\frac{a}{\sqrt{b}-1}\) = \(\frac{4a}{2.2\sqrt{b}-4}\) >=\(\frac{4a}{b+4-4}\)=\(\frac{4a}{b}\)(tự hiểu nhé)
Tương tự: \(\frac{b}{\sqrt{c}-1}\)>=\(\frac{4b}{c}\)

                 \(\frac{c}{\sqrt{a}-1}\) >=\(\frac{4c}{a}\)  
Cộng ba cái trên lại ta có:     VT>= \(4\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\) >=\(4.3.\sqrt[3]{\frac{abc}{bca}}\)  =12 (ở đây áp dụng cô-si cho 3 số)                            

Xét từng chỗ có dấu "=" thì dấu "=" khi và chỉ khi a=b=c=4 nhé

Qui đồng chứng minh tương đương là ra

\(a+b=2c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{a+b}{2}\\a-c=c-b\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}-\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-c}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+b}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Nhìn đề thấy mệt nên sửa lại đỡ mệt.

Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\end{cases}}\)

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)

Giải:

Theo đề ta có:

\(b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=\left(c+b\right)\left(c-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a+a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow0=0\)

Vậy....