b: góc HID+góc HKD=180 độ

=>HIDK nội tiếp

=>góc HIK=góc HDK

=>góc HIK=góc HCB

=>góc HIK=góc HEF

=>EF//IK

xét tứ giác BFHD có 

góc BFH + góc BDH = 180 

mà nó là 2 góc đối => nội tiếp => góc FDH = góc FBE 

chứng minh tương tự với tứ giác CEHD 

=> góc HDE = góc HCE 

Xét tứ giác BFEC có 

góc BFC = góc BEF = 90 

mà nó là 2 góc kề => tứ giác nội tiếp 

mà góc BEC = 1/2 sđ BC = 90 => SĐ BC = 180 => BC là đường kính mà I là trung điểm BC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC 

=> góc FIE = góc FBE + góc FCE 

=> Góc FIE = góc FDH+góc HDE => góc FIE = góc FDE

mà nó là 2 góc kề => nội tiếp 

=> điều phải cm

??????????????

1: Xét ΔDCH vuông tại D và ΔDAB vuông tại D có

\(\widehat{DCH}=\widehat{DAB}\)

Do đó:ΔDCH đồng dạng với ΔDAB

=>\(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{DH}{DB}\)

=>\(DC\cdot DB=DA\cdot DH\)

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC

3)

Gọi $I = EF \cap AD$.

Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ suy ra các tỉ số: $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.

Mặt khác, do các cặp góc bằng nhau suy ra: $\triangle AIH \sim \triangle ADH$.

=> $\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.

Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

\(\dfrac{IA}{IF}=\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{KA}{KH}\Rightarrow\)IK//DF.

\(\dfrac{RC}{RD}=\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{QC}{QF}\Rightarrow\)QR//DF.

\(\dfrac{FB}{FI}=\dfrac{HB}{HE}=\dfrac{DB}{DR}\Rightarrow\)IR//DF

\(\Rightarrow\)4 điểm I,K,Q,R thẳng hàng.

Ta có $AD \perp BC$ nên $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ vuông tại $D$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AD$: $AD^2 = BD \cdot DC$.

Mặt khác: $AD = AH + HD$.

=> $AD \cdot HD = (AH + HD)\cdot HD$.

Mà trong tam giác vuông: $AH \cdot HD = BD \cdot DC$.

Do đó: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$.

Xét tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$:

Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$,
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

=> $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.

Gọi $I = EF \cap AH$.

Từ các cặp tam giác đồng dạng suy ra tỉ số:
$\dfrac{AI}{IH} = \dfrac{AD}{HD}$.

Nhân chéo: $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.

Vậy: $AD \cdot HD = BD \cdot DC$ và $AI \cdot HD = IH \cdot AD$.