TH1: m<0 hoặc n<0

Nếu m<0

=>\(2^{m}\) ∉Z

=>\(2^{m}\cdot5\) ∉Z

=>\(2^{m}\cdot5+1\) ∉Z

mà \(3^{n}\) sẽ là số nguyên(nếu n>=0) hoặc là phân số(nếu n<0)

nên Loại

Nếu n<0

=>\(3^{n}<1\)

mà nếu m>=0 thì \(1+5\cdot2^{m}\ge1+5>1\)

nên Loại

Do đó: m>=0; n>=0

TH2: m=0

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^0=1+5=6\)

=>\(3^{n}=6\)

=>n∈∅

TH3: m=1

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^1=1+10=11\)

=>\(3^{n}=11\)

=>n∈∅

TH4: m=2

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^2=1+20=21\)

=>\(3^{n}=21\)

=>n∈∅

TH5: m=3

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^3=1+40=41\)

=>\(3^{n}=41\)

=>n∈∅

TH6: m=4

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^4=1+80=81\)

=>\(3^{n}=81\)

=>n=4(nhận)

TH7: m>=5

=>\(1+5\cdot2^{m}>1+5\cdot32=161\)

=>n>=5

m>=5

=>\(2^{m}\) ⋮8

=>\(5\cdot2^{m}\) ⋮8

=>\(5\cdot2^{m}+1\) chia 8 dư 1

=>\(3^{n}\) chia 8 dư 1

mà \(3^{n}\) chia 8 dư 1 khi n là số chẵn

nên đặt n=2k(với k>=3)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\(5 \cdot 2^m = 3^{2k} - 1 = (3^k - 1)(3^k + 1)\)

mà \(ƯCLN\left(3^{k}-1;3^{k}+1\right)=2\)

nên ước chỉ chứa các thừa số nguyên tố là 2 và 5

mà \(3^{k}-1;3^{k}+1\) không thể cùng chia hết cho 5

nên ta sẽ có 2 trường hợp

TH1: 5 là ước của \(3^{k}-1\)

=>\(3^{k}-1=5\cdot2^{a};3^{k}+1=2^{b}\) , với a+b=m

\(3^k + 1 = 2^b\)

k>=3

=>3^k+1 chia 8 dư 4(nếu k lẻ) và \(3^{k}+1\) chia 8 dư 2(k chẵn)

=>\(3^{k}+1\) không thể là lũy thừa của 2 lớn hơn 4

=>Loại

TH2: 5 là ước của \(3^{k}+1\)

=>\(3^{k}-1=2^{a};3^{k}+1=5\cdot2^{b}\) , với a+b=m

\(3^{k}-1=2^{a}\)

Nếu k=1 thì \(2^{a}=3^1-1=3-1=2\)

=>a=1

=>\(3^{k}-1=2^1=2\)

=>\(3^{k}+1=4\)

=>\(5\cdot2^{b}=4\)

=>\(2^{b}=\frac45\)

=>b∈∅

Nếu k=2 thì \(3^2-1=8=2^3\)

=>a=3

k=2

=>n=2k=4

\(3^{k}+1=5\cdot2^{b}\)

=>\(5\cdot2^{b}=3^2+1=10\)

=>\(2^{b}=2\)

=>b=1

a+b=4

=>m=a+b=4

Nếu k>=3 thì \(3^{k}-1=2^{a}\)

=>\(3^{k}\) chia 4 dư 1

=>k chẵn

Đặt k=2p(Với p>=2)

Ta sẽ có: \(3^{2p}-1=(3^{p}-1)(3^{p}+1)=2^{a}\)

=>\(3^{p}-1;3^{p}+1\) đều phải là lũy thừa của 2

=>\(3^{p}-1=2;3^{p}+1=4\)

=>\(3^{p}=3\)

=>p=1

=>k=2(loại vì k>=3)

Do đó: Với m>=5 thì không tồn tại thêm nghiệm n...

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] . (**)

\(\Rightarrow3\left(n+1\right)+11⋮n+1\\ \Rightarrow11⋮n+1\\ \Rightarrow n+1\inƯ\left(11\right)=\left\{1;11\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{0;10\right\}\)

4: \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-6\right)<0\)

TH1: \(x^2-1>0\) và \(x^2-6<0\)

=>1<\(x^2\) <6

mà x là số nguyên

nên x∈{2;-2}

TH2: \(x^2-1<0\) và \(x^2-6>0\)

=>\(x^2<1\) và \(x^2>6\)

mà 6>1

nên x∈∅

Bài 2:Sửa đề: Tìm x,y nguyên

(2x+1)(5-y)=6

=>(2x+1)(y-5)=-6

mà 2x+1 lẻ

nên (2x+1;y-5)∈{(1;-6);(-1;6);(3;-2);(-3;2)}

=>(2x;y)∈{(0;-1);(-2;11);(2;3);(-4;7)}

=>(x;y)∈{(0;-1);(-1;11);(1;3);(-2;7)}

\(4-3n⋮3n+2\)

=>\(-3n-2+6⋮3n+2\)

=>\(3n+2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(3n\in\left\{-1;-3;0;-4;1;-5;4;-8\right\}\)

mà n là số nguyên

nên \(n\in\left\{-1;0\right\}\)

3n+10 chia hết cho n-1

=> 3n+(13-3) chia hết cho n-1

=> 3n+13-3 chia hết cho n-1

=> (3n-3)+13 chia hết cho n-1

=> 3(n-1)+13 chia hết cho n-1

Vì 3(n-1) chia hết cho n-1 => 13 chia hết cho n-1

=> n-1 thuộc Ư(13)={1;13}

=> n thuộc {2;14}

2 và 14

15.B

16.C

17.A

18.D

19.A

còn câu 20,21 mình sợ mình làm sai nên k ghi đáp án sorry bạn nha:(