\(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.\left(-2\right)=0\) nên \(AB\perp AC\). (1)
\(AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\).
\(AC=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{2}\)
Vì vậy AB = AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.

A(-1;1); B(1;-1); C(x;y)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1+1;-1-1\right)=\left(2;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(x+1;y-1\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>2(x+1)+(-2)(y-1)=0

=>x+1-(y-1)=0

=>x+1-y+1=0

=>x-y+2=0

=>y=x+2

\(AB=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2\)
\(AC=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}\)

AB=AC

=>\(\sqrt8=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=8\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(x+2-1\right)^2=8\)

=>\(2\left(x+1\right)^2=8\)

=>\(\left(x+1\right)^2=4\)

=>x+1=2 hoặc x+1=-2

=>x=1 hoặc x=-3

TH1: x=1

=>y=x+2=1+2=3

=>C(1;3)

TH2: x=-3

=>y=x+2=-3+2=-1

=>C(-3;-1)

Do C thuộc trục tung nên tọa độ có dạng \(C\left(0;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;-1\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-1;c-2\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Rightarrow4-\left(c-2\right)=0\Rightarrow c=6\)

\(\Rightarrow C\left(0;6\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(-1;4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{17}\\AC=\sqrt{\left(-1\right)^2+4^2}=\sqrt{17}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{17}{2}\)

Gọi C(x, y).

Ta có  B A → = 1 ; 3 B C → = x − 1 ; y − 1 .

Tam giác ABC vuông cân tại B:

⇔ B A → . B C → = 0 B A = B C ⇔ 1. x − 1 + 3. y − 1 = 0 1 2 + 3 2 = x − 1 2 + y − 1 2

⇔ x = 4 − 3 y 10 y 2 − 20 y = 0 ⇔ y = 0 x = 4 hay y = 2 x = − 2 .

 Chọn C.

B(-2;4); A(1;3); C(x;y)

\(\overrightarrow{BA}=\left(1+2;3-4\right)=\left(3;-1\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(x+2;y-4\right)\)

ΔBAC vuông tại B

=>\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>3(x+2)+(-1)(y-4)=0

=>3x+6-y+4=0

=>3x+10-y=0

=>y=3x+10

ΔBAC vuông cân tại B

=>BA=BC

=>\(BA^2=BC^2\)

=>\(3^2+\left(-1\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2\)

=>\(\left(x+2\right)^2+\left(3x+10-4\right)^2=10\)

=>\(10\left(x+2\right)^2=10\)

=>\(\left(x+2\right)^2=1\)

=>x+2=1 hoặc x+2=-1

=>x=-1 hoặc x=-3

Khi x=-1 thì y=3x+10=-3+10=7

Khi x=-3 thì y=3x+10=-9+10=1

Vậy: C(-1;7); C(-3;1)

Giả sử \(C\)  cần tìm có tọa độ là \(\left(x;y\right)\). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\\\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\end{matrix}\right.\)  với \(\overrightarrow{BA}=\left(1;3\right)\)  và \(\overrightarrow{BC}=\left(x-1;y-1\right)\)

Điều đó có nghĩa là:

\(\left\{{}\begin{matrix}1.\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)=0\\1^2+3^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-3y\\\left(3-3y\right)^2+\left(y-1\right)^2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-3y\\10y^2-20y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(4;0\right)\\C\left(-2;2\right)\end{matrix}\right.\)