Ta có: \(\Delta'=2>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(2x_1^2+4mx_2+2m^2-9< 0\)

            \(\Rightarrow2x_1^2+\left(2x_1+2x_2\right)x_2+2m^2-9< 0\)

            \(\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)+2x_1x_2+2m^2-9< 0\) 

            \(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2m^2-9< 0\)

            \(\Rightarrow8m^2-2\left(m^2-\dfrac{1}{2}\right)+2m^2-9< 0\)

            \(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{5}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

   Vậy ...

\(a.\Leftrightarrow mx^2+2mx-x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow mx\left(x+2\right)+\left(m+2\right)-x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(mx+1\right)-x=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\left(0+x\right):\left(mx+1\right)-2\\m=[\left(0+x\right):\left(m+2\right)-1]:x\end{matrix}\right.\)

a: \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có nghiệm

b: Nghiệm của phương trình là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{m-\left(m-2\right)}{2\cdot1}=\frac{m-m+2}{2}=1\\ x=\frac{m+\left(m-2\right)}{2\cdot1}=\frac{2m-2}{2}=m-1\end{array}\right.\)

TH1: x1=1; x2=m-1

\(x_1-2x_2=1\)

=>1-2(m-1)=1

=>2(m-1)=0

=>m-1=0

=>m=1

TH2: x1=m-1; x2=1

\(x_1-2x_2=1\)

=>m-1-2=1

=>m=4

*Xét phương trình  (m² +1).x² – (m- 6)x -  2= 0 có a= m² + 1 >0  và c = -2 < 0 nên ac< 0 mọi m.

=>  Phương trình (1) luôn có nghiệm mọi m.

* Phương trình x 2 + m + 3 x - 1 = 0  có ac= 1. (-1) < 0 nên phương  trình này luôn có nghiệm mọi m.

* Xét (3) mx² - 2x – m = 0  . Khi m= 0 thì (3) trở thành:  - 2x = 0 đây là phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất là x = 0.

* Xét (4) có :

∆ = - 2 m 2 - 4 . 2 - 1 - m = 4 m 2 + 8 + 8 m = 4 m 2 + 8 m + 4 + 4 = 4 m + 1 2 + 4 > 0   ∀ m

 Nên trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Chọn C.

3:

x^2-2x+1-m^2<=0

=>(x-1)^2-m^2<=0

=>(x-1)^2<=m^2

=>-m<=x-1<=m

=>-m+1<=x<=m+1

mà x thuộc [-1;2]

nên -m+1>=-1 và m+1<=2

=>-m>=-2 và m<=1

=>m<=2 và m<=1

=>m<=1

1) Với m= 2 PT trở thành  x 2 − 4 x + 3 = 0  

Giải phương trình tìm được các nghiệm  x = 1 ;   x = 3.  

2) Ta có  Δ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 , ∀ m .  

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Từ giả thiết ta có x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 = 0 , i = 1 ; 2. x i 3 − 2 m x i 2 + m 2 x i − 2 = x i x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 + x i − 2 = x i − 2 , i = 1 ; 2.  

Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có  x 1 + x 2 = 2 m ; x 1 . x 2 = m 2 − 1  

Ta có

  x 1 − 2 + x 2 − 2 = 2 m − 4 ; x 1 − 2 x 2 − 2 = x 1 x 2 − 2 x 1 + x 2 + 4 = m 2 − 1 − 4 m + 4 = m 2 − 4 m + 3

Vậy phương trình bậc hai nhận  x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 ,   x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2  là nghiệm là x 2 − 2 m − 4 x + m 2 − 4 m + 3 = 0.

6³ . 6² = 6⁵

2² = 4

3⁹ . 3 . 3³ = 3¹³

24² = 576