Đáp án D

Dựa vào các bước chứng minh ta thấy lập luận đó là chính xác tất cả các bước.

Cặp \(m=2\) , \(n=1\) vẫn thỏa \(m^2-2020n^2+2022⋮mn\)

Để chứng minh rằng m và n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau, ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Giả sử rằng m và n là hai số tự nhiên thỏa mãn m^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho mn.

Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng m và n là hai số lẻ.

Giả sử rằng m là số chẵn, tức là m = 2k với k là một số tự nhiên. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có:

(2k)^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn

Simplifying the equation, we get:

4k^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn

Dividing both sides by 2, we have:

2k^2 - 1010n^2 + 1011 chia hết cho kn

Do 2k^2 chia hết cho kn, vì vậy 2k^2 cũng chia hết cho kn. Từ đó, 1011 chia hết cho kn.

Bởi vì 1011 là một số lẻ, để 1011 chia hết cho kn, thì kn cũng phải là một số lẻ. Vì vậy, n cũng phải là số lẻ.

Do đó, giả sử m là số chẵn là không hợp lệ. Vậy m phải là số lẻ.

Bước 3: Chứng minh rằng m và n là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử rằng m và n không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều đó có nghĩa là tồn tại một số nguyên tố p chia hết cả m và n.

Vì m là số lẻ, n là số lẻ và p là số nguyên tố chia hết cả m và n, vì vậy p không thể chia hết cho 2.

Ta biểu diễn m^2 - 2020n^2 + 2022 dưới dạng phân tích nhân tử:

m^2 - 2020n^2 + 2022 = (m - n√2020)(m + n√2020)

Vì p chia hết cả m và n, p cũng phải chia hết cho (m - n√2020) và (m + n√2020).

Tuy nhiên, ta thấy rằng (m - n√2020) và (m + n√2020) không thể cùng chia hết cho số nguyên tố p, vì chúng có dạng khác nhau (một dạng có căn bậc hai và một dạng không có căn bậc hai).

Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó giả sử ban đầu là sai.

Vậy ta có kết luận rằng m và n là hai số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau.

TH1: m=3k

\(m^2+3=\left(3k\right)^2+3=9k^2+3=3\left(3k^2+1\right)\) (1)

TH2: m=3k+1

\(m^2+3=\left(3k+1\right)^2+3\)

\(=9k^2+6k+1+3=3\left(3k^2+2k+1\right)+1\) (2)

TH3: m=3k+2

\(m^2+3=\left(3k+2\right)^2+3\)

\(=9k^2+12k+4+3=9k^2+12k+6+1=3\left(3k^2+4k+2\right)+1\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra dù trong trường hợp nào thì khi phân tích \(m^2+3\), ta sẽ có: bộ phận "chứa các ước không chia hết cho 3" của \(m^2+3\) luôn là một số chia 3 dư 1

TA có: Một số nguyên dương X bất kỳ luôn phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố sẽ có dạng như sau: \(X = q_1 \cdot q_2 \cdots q_r\)

Khi chia cho 3 thì các số nguyên tố q chỉ có thể thuộc 1 trong 3 nhóm: chia hết cho 3; chia 3 dư 1; chia 3 dư 2

TH1: Nếu chỉ có các thừa số có dạng là 3a+1;3b+1;... nhân với nhau

(3a+1)(3b+1)

=9ab+3a+3b+1

=3(3ab+a+b)+1

=>kết quả mãi là một số chia 3 dư 1

TH2: nếu có chứa thừa số dạng 3b+2

Nếu là 1 thừa số dạng (3b+2) nhân với số dạng (3a+1) thì ta sẽ có:

(3a+1)(3b+2)

=9ab+6a+3b+2

=3(3ab+2a+b)+2

=>Chia 3 dư 2

Nếu là 2 thừa số dạng (3b+2) nhân với nhau:

(3a+2)(3b+2)

=9ab+6a+6b+4

=3(3ab+2a+2b+1)+1

=>Chia 3 dư 1

Ta sẽ có quy luật sau:

-Muốn tích ra số dư 1, số lượng các thừa số dạng 3b+2 bắt buộc phải là số chẵn (0, 2, 4,... thừa số).

-Muốn tích ra số dư 2, số lượng các thừa số dạng 3b+2 bắt buộc phải là số lẻ (1, 3, 5,... thừa số).

Giả sử \(m^2+3\) ⋮p

=>\(m^2+3\) ⋮3n+2

p=3n+2 chia 3 dư 2

=>p là số lẻ và p chứa thừa số chia 3 dư 2

=>\(m^2+3\) cũng phải chứa thừa số có dạng chia 3 dư 2

mà phần không chia hết cho 3 của \(m^2+3\) phải chia 3 dư 1(cmt)

nên Nó chỉ được chứa một số chẵn thừa số nguyên tố dạng 3b+2

mà Một số thì không thể vừa chứa số lẻ vừa chứa số chẵn thừa số dạng 3b + 2 được.

nên m∈∅