có \(\widehat{AEH}=90\)

\(\widehat{AFH}\)=90

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90+90=180\) tổng 2 góc đối nhau

⇒ tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

ΔBAM nội tiếp

BM là đường kính

Do đó: ΔBAM vuông tại A

Xét (O) có

ΔBCM nội tiếp

BM là đường kính

Do đó: ΔBCM vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{BAC};\hat{BMC}\) là các góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\hat{BAC}=\hat{BMC}\)

=>\(\hat{BMC}=60^0\)

Xét ΔBCM vuông tại C có cos BMC=\(\frac{MC}{MB}\)

=>\(\frac{MC}{2R}=cos60=\frac12\)

=>MC=R

Diện tích tam giác BCM là:

\(S_{BCM}=\frac12\cdot MC\cdot MB\cdot\sin BMC\)

\(=\frac12\cdot R\cdot2R\cdot\sin60=R^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)

Xét (O) có

\(\hat{ACB};\hat{AMB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{ACB}=\hat{AMB}=45^0\)

Xét ΔAMB vuông tại A có \(\hat{AMB}=45^0\)

nên ΔAMB vuông cân tại A

=>\(BA=AM=BM\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2\)

ΔBAM vuông tại A

=>\(S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot AM=\frac12\cdot R\sqrt2\cdot R\sqrt2=R^2\)

Diện tích tứ giác ABCM là

\(S_{ABCM}=S_{ABM}+S_{MBC}\)

\(=\frac{R^2\sqrt3}{2}+R^2=R^2\left(\frac{\sqrt3}{2}+1\right)\)

b: Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{ADC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔABE và ΔADC có

\(\hat{ABE}=\hat{ADC}\)

\(\hat{BAE}=\hat{DAC}\)

Do đó: ΔABE~ΔADC

=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AB\cdot AC=AE\cdot AD\)

Xét (O) có

\(\hat{DBC};\hat{DAC}\) là các góc nội tiếp chắn cung DC

Do đó: \(\hat{DBC}=\hat{DAC}\)

mà \(\hat{DAC}=\hat{DAB}\)

nên \(\hat{DBE}=\hat{DAB}\)

Xét ΔDBE và ΔDAB có

\(\hat{DBE}=\hat{DAB}\)

góc ADB chung

Do đó: ΔDBE~ΔDAB

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DE}{DB}\)

=>\(DB^2=DE\cdot DA\)

b) Vì AM và AN lần lượt là hai tia phân giác của hai góc trong và ngoài tại đỉnh A của ΔABC

nên AM và AN lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù

⇔\(\widehat{MAN}=90^0\)

Xét ΔAMN có \(\widehat{MAN}=90^0\)(cmt)

nên ΔAMN vuông tại A(Định nghĩa tam giác vuông)

Suy ra: A,M,N cùng nằm trên đường tròn đường kính NM(Định lí)

mà A,M,N cùng nằm trên (O)

nên MN là đường kính của đường tròn (O)

hay O,M,N thẳng hàng(đpcm)

Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc CAD = 90 °