a: Xét ΔCAB có \(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

=>\(\dfrac{2^2+3-AB^2}{2\cdot2\cdot\sqrt{3}}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(7-AB^2=4\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\cdot3=6\)

=>AB=1

b: Xét ΔABC có \(AB^2+BC^2=CA^2\)

nên ΔABC vuông tại B

=>\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A là:

\(m_A=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4+1}{2}-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{B}+\hat{C}=90^0\)

=>\(\hat{C}=90^0-58^0=32^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}\)

=>\(\frac{b}{72}=\sin58\)

=>\(b=72\cdot\sin58\) ≃61,06(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(b^2+c^2=a^2\)

=>\(c^2=a^2-b^2\)

=>c≃38,15(cm)

Kẻ AH⊥BC tại H

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(h_{A}=\frac{AB\cdot AC}{BC}\) =38,15*61,06/72≃32,35(cm)

b: Xét ΔABC có

\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}=\frac{85^2+54^2-52,1^2}{2\cdot85\cdot54}=\frac{7426.59}{9180}\)

=>\(\hat{A}\) ≃36 độ

Xét ΔABC có

\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}=\frac{52,1^2+54^2-85^2}{2\cdot52,1\cdot54}=\frac{-1594,59}{5626,8}\)

=>\(\hat{ABC}\) ≃106 độ

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{C}=180^0-106^0-36^0=180^0-142^0=38^0\)

c: \(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+6}{2}=\frac{13}{2}=6,5\)

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(=\sqrt{6,5\left(6,5-3\right)\left(6,5-4\right)\left(6,5-6\right)}=\sqrt{6,5\cdot0,5\cdot3,5\cdot2,5}=\sqrt{28,4375}=\sqrt{\frac{455}{16}}=\frac{\sqrt{455}}{4}\)

Có \(\widehat{B}=180^0-105^0-30^0=45^0\)

Kẻ AH vuông góc với BC

 \(\Rightarrow\Delta ABH\) là tam giác vuông cân tại A

\(\Rightarrow AH=BH\)

Có \(tanC=\dfrac{AH}{HC}\Leftrightarrow HC=\dfrac{AH}{tan30^0}=\sqrt{3}AH\)

\(\Rightarrow BH+CH=AH+\sqrt{3}AH\Leftrightarrow BC=\left(1+\sqrt{3}\right)AH\)\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{BC}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}.2=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\) (cm²)

Vậy...

\(\dfrac{B}{C}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow B=\dfrac{4C}{3}\)

\(B+C=180^0-A=105^0\Rightarrow C+\dfrac{4C}{3}=105^0\Rightarrow C=45^0\) \(\Rightarrow B=60^0\)

Kẻ đường cao AD ứng với BC (do 2 góc B và C đều nhọn nên D nằm giữa B và C)

Trong tam giác vuông ABD:

\(sinB=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AD=AB.sinB=10,6.sin60^0\approx9,2\left(cm\right)\)

\(cosB=\dfrac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.cosB=10,6.cos60^0=5,3\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ACD:

\(tanC=\dfrac{AD}{CD}\Rightarrow CD=AD.tanC=9,2.tan45^0=9,2\left(cm\right)\)

\(sinC=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{AD}{sinC}=\dfrac{9,2}{sin45^0}\approx13\left(cm\right)\)

\(BC=BD+CD=5,3+9,2=14,5\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AD.BC=\dfrac{1}{2}.9,2.14,5=66,7\left(cm^2\right)\)

Bài 2:

Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}=90^o\)và\(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow AH^2=HB.HC\)(Hệ thức lượng)

\(AH^2=25.64\)

\(AH=\sqrt{1600}=40cm\)

Xét \(\Delta ABH\)có\(\widehat{H}=90^o\)

\(\Rightarrow\tan B=\frac{AH}{BH}\)\(=\frac{40}{25}=\frac{8}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx58^o\)

Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\)

\(58^o+\widehat{C}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}\approx90^o-58^o\)

\(\widehat{C}\approx32^o\)