• \(\frac{2}{1} < \frac{3}{2}\) (không áp dụng được vì làm \(A^{2}\) nhỏ đi, ta cần tìm chặn trên).
• Thay vào đó, ta sử dụng: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) cho các thừa số của biểu thức thứ hai nhưng lùi lại một nhịp.

• Chặn trên:
  Vì \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199} < 20\) tương đương với \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{199}{200} > \frac{1}{20}\).
  Điều này luôn đúng vì \(\frac{n-1}{n} > \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \dots\) (Sử dụng \(S > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)). Với \(n=100\), \(S > \frac{1}{20}\) là hiển nhiên.
• Chặn dưới:
  Sử dụng \(S < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) hoặc đơn giản hơn là so sánh \(A\) với dãy lệch một đơn vị để thấy \(A^2 > 200\).
  \(A^2 = \frac{2^2}{1 \cdot 1} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 3} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 199} > \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 201} \cdot 201\)
  \(A^2 > 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17\).

Ta có \(k^2>k^2-1=\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)

Áp dung vào bài toán ta được

\(A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{199}{200}=\frac{1.3...199}{2.4...200}\)

\(\Rightarrow A^2=\frac{1^2.3^2...199^2}{2^2.4^2...200^2}< \frac{1^2.3^2...199^2}{1.3.3.5...199.201}=\frac{1^2.3^2...199^2}{1.3^2.5^2...199^2.201}=\frac{1}{201}\)

Vậy \(A^2< \frac{1}{201}\)

A²<\(\frac{1}{201}\)

ai giúp mình với rồi mình tink cho nha cảm ơn các bạn nhiều 

Nhìn Rối tinh lên bố ai biết thế nào?

1. Xét biểu thức \(B\):
   Đặt \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\).
2. So sánh \(A\) và \(B\):
   Ta thấy với mọi số tự nhiên \(n \geq 1\):
   \(\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}\)
   Áp dụng vào từng cặp phân số:
   Vì tất cả các phân số đều dương, nhân vế theo vế ta được: \(A < B\).
3. • \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
   • \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
   • \(\dots \)
   • \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
4. Tính tích \(A \cdot B\):
   \(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\right)\)
   Rút gọn các tử số và mẫu số giống nhau (2 rút gọn cho 2, 3 cho 3, ..., 200 cho 200), ta còn lại:
   \(A\cdot B=\frac{1}{201}\)
5. Kết luận:
   Vì \(A < B\) và cả $A, B$ đều dương nên:
   \(A\cdot A<A\cdot B\)
   \(\Rightarrow A^{2}<\frac{1}{201}\)
   (Đpcm)