m = 4 . q + 3

m = 9 . q + 5
( trong đó q là thương )
 

a) Vì m, n, p là các số tự nhiên lẻ nên ta có thể đặt m = 2a + 1; n = 2b + 1; p = 2c + 1

Khi đó

 \(mn+np+pm=\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)+\left(2b+1\right)\left(2c+1\right)+\left(2c+1\right)\left(2a+1\right)\)

\(=4ab+2a+2b+1+4bc+2b+2c+1+4ca+2c+2a+1\)

\(=4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+3\)

Vậy thì mn + np + pm chia 4 dư 3.

b) Ta chứng minh một số chính phương n chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Thật vậy:

Nếu n là bình phương số chẵn thì n = (2k)² = 4k² chia hết 4

Nếu n là bình phương số lẻ thì n = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 chia 4 dư 1.

Vậy do mn + np + pm chia 4 dư 3 nên mn + np + pm không là số chính phương.

Ta có: \(\overline{mn}:n=n\) dư m

\(\Rightarrow\overline{mn}=n^2+m\)

\(\Leftrightarrow10m+n=n^2+m\Leftrightarrow9m=n\left(n-1\right)⋮9\)

\(\Rightarrow n=9\Rightarrow m=8\)

\(mn=36\\ \Leftrightarrow n\left(-m\right)=m\left(-n\right)=-36\)

Thanks bn nhé

Lồn bâm

Gâu gâu 

Ta có: \(M=1+3+3^2+\cdots+3^{100}\)

\(=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3+3^4\right)+\left(3^5+3^6+3^7\right)+\cdots+\left(3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(=4+3^2\left(1+3+3^2\right)+3^5\left(1+3+3^2\right)+\cdots+3^{98}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=4+13\left(3^2+3^5+\cdots+3^{98}\right)\)

=>M chia 13 dư 4

Ta có: \(M=1+3+3^2+\cdots+3^{100}\)

\(=1+3\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^5\left(1+3+3^2+3^3\right)+\cdots+3^{97}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=1+40\left(3+3^5+\cdots+3^{97}\right)\)

=>M chia 40 dư 1