:)

- Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) (gt)

=>\(ad< bc\) 

=>\(ad+ab< bc+ab\)

=>\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (1)

- Ta có: \(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a}{b}\) (gt)

=>\(bc>ad\)

=>\(bc+cd>ad+cd\)

=>\(c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

- Mình lỡ làm rồi bạn tanjiro kamado gì đó :)

Đặt A/B=C/D=k

=>A=k*B; C=D*k

A/B=k*B/B=k

\(\dfrac{A+C}{B+D}=\dfrac{k\cdot B+k\cdot D}{B+D}=k\)

=>\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{A+C}{B+D}\)

Mik cảm ơn cọu nhìu ạ :>

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)

Đặt \(\frac{a}{b}\) =\(\frac{c}{d}\) =k => a=bk , c=dk

+) \(\frac{a}{a+b}=\frac{bk}{bk+b}=\frac{bk}{b.\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\)(1)

+)  \(\frac{c}{c+d}=\frac{dk}{dk+d}=\frac{dk}{d.\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)

Từ \(\dfrac{a}{b}\)      = \(\dfrac{c}{d}\) 

➜     ad   = bc

➜  ad-bd =   bc-bd

➜ (a-b)d  =   b(c-d)

➜ \(\dfrac{a}{b-a}\)  =  \(\dfrac{c}{d-c}\) (điều phải chứng minh)

Lời giải:
$a^4-4a=b^4-4b$

$\Leftrightarrow (a^4-b^4)-(4a-4b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a^2+b^2)-4(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-4]=0$

$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)-4=0$ (do $a-b\neq 0$ với mọi $a,b$ phân biệt)

$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)=4>0$

Mà $a^2+b^2>0$ với mọi $a,b$ phân biệt nên $a+b>0$

Mặt khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$4=(a+b)(a^2+b^2)\geq (a+b).\frac{(a+b)^2}{2}$

$\Rightarrow 8> (a+b)^3$

$\Rightarrow 2> a+b$

Vậy $0< a+b< 2$ 

Ta có đpcm.

hãy giúp mình với thứ 2 mình kiểm tra 1 tiết rùi

Từ giả thiết  a ≤ 1 , b ≤ 1 , c ≤ 1 ta có  a 4 ≤ a 2 , b 6 ≤ b 2 , c 8 ≤ c 2 . Từ đó  a 4 + b 6 + c 8 ≤ a 2 + b 2 + c 2

Lại có:  a − 1 b − 1 c − 1 ≤ 0   v à   a + 1 b + 1 c + 1 ≥ 0 nên

a + 1 b + 1 c + 1 − a − 1 b − 1 c − 1 ≥ 0 ⇔ 2 a b + 2 b c + 2 c a + 2 ≥ 0 ⇔ − 2 a b + b c + c a ≤ 2

Hơn nữa  a + b + c = 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = − a b + b c + c a ≤ 2

⇒ a 4 + b 6 + c 8 ≤ 2