TA có: \(\log_a (1 - 6a^{-x}) + 2x - 2 \ge 0\)

=>\(\log_a (1 - 6a^{-x}) \ge 2 - 2x\)

=>\(1 - 6a^{-x} \ge a^{2 - 2x}\)

=>\(1 - 6a^{-x} \ge a^2 \cdot (a^{-x})^2\)

=>\(a^2 \cdot (a^{-x})^2 + 6 \cdot a^{-x} - 1 \le 0\) (1)

Đặt \(t=a^{-x}\)

Ta có: x>2 và a>1

=>Hàm số \(t = a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x\) nghịch biến

Khi x->+∞ thì t->0

Khi x=2 thì \(t=a^{-2}\)

Do đó: Khi x>2 thì 0<t<\(a^{-2}\)

(1) sẽ trở thành: \(a^2t^2+6t-1\le0\quad\forall\text{ }t\in(0;a^{-2})\)

Xét hàm số \(f(t) = a^2 t^2 + 6t - 1\)

Để \(f(t)\le0\forall t\in(0;a^{-2})\) thì tập nghiệm của f(t)<=0 phải chửa nửa khoảng (0;a^-2]

\(\Delta' = 3^2 - a^2(-1) = 9 + a^2 > 0\)

=>Nghiệm dương của phương trình f(t)=0 là: \(t_2 = \frac{-3 + \sqrt{9 + a^2}}{a^2} \quad (t_2 > 0)\)

=>\(f(t)\le0\iff t\in[t_1;t_2]\)

Do đó: f(t)<=0 đúng với mọi \(t\in(0;a^{-2})\) khi \(a^{-2}\le t_2\iff f(a^{-2})\le0\)

=>\(a^2\left(a^{-2}\right)^2+6\left(a^{-2}\right)-1\le0\)

=>\(a^2\cdot\frac{1}{a^4}+\frac{6}{a^2}-1\le0\)

=>\(\frac{7}{a^2}\le1\)

=>\(a^2\ge7\)

=>\(a\ge\sqrt7\) (Vì a>1)

\(\left(m^2-1\right)x-8m+9-m^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-8m-1\right)x\ge m^2-9\)

- Với \(m=4+\sqrt{17}\) ko thỏa mãn

- Với \(m=4-\sqrt{17}\) thỏa mãn

- Với \(m\ne4\pm\sqrt{17}\)

Pt nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\\dfrac{m^2-9}{m^2-8m-1}\le0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\m^2-9\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-3\le m< 4-\sqrt{17}\)

Vậy \(-3\le m\le4-\sqrt{17}\)

- Với \(m=\pm1\) không thỏa mãn

- Với \(m\ne\pm1\) ta có: 

\(\Delta'=16m^2-\left(m^2-1\right)\left(9-m^2\right)=\left(m^2+3\right)^2>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\x_1< x_2\le0\end{matrix}\right.\) (pt hệ số a dương đồng thời có 2 nghiệm ko dương)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=m^2-1>0\\x_1+x_2=\dfrac{8m}{m^2-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{9-m^2}{m^2-1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-3\le m< -1\)

(Nếu \(\Delta\) không luôn dương với mọi m, ví dụ dạng \(\Delta=m^2-3m+2\) chẳng hạn thì còn 1 TH thỏa mãn nữa là \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\))

\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(m\ge10\)

- Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^3-\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x^2+\left(m-4\right)x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left[\left(m-2\right)x+2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2\right]\ge0\) (1)

Do (1) luôn chứa 1 nghiệm \(x=1\in\left(0;+\infty\right)\) nên để bài toán thỏa mãn thì cần 2 điều sau đồng thời xảy ra:

+/ \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

+/ \(\left(2m-1\right)x^2-\left(m-2\right)x-2=0\) có 2 nghiệm trong đó \(x_1\le0\) và \(x_2=1\)

Thay \(x=1\) vào ta được:

\(\left(2m-1\right)-\left(m-2\right)-2=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x^2+x-2=0\) có 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-2< 0\left(thỏa\right)\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1\)

\(x^2-3x-4\le0\)

=>(x-4)(x+1)<=0

=>-1<=x<=4

\(x^2 - 3\vert{}x\vert{}x - m^2 + 6m \ge 0\) (2)

TH1: x>=0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot x\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(-2x^2-m^2+6m\ge0\)

=>\(2x^2\le6m-m^2\)

Để bất phương trình này có nghiệm x>=0 thuộc đoạn [-1; 4] thì vế phải phải lớn hơn hoặc bằng 0

=>\(6m-m^2\ge0\)

=>\(m\left(m-6\right)\le0\)

=>0<=m<=6

=>\(0 \le x \le \sqrt{\frac{6m - m^2}{2}}\)

Để hệ có nghiệm trong trường hợp này, giao của \(S_1=\left\lbrack-1;4\right\rbrack\) và tập nghiệm của bất phương trình thứ hai phải khác rỗng,

=>Cần tồn tại ít nhất một nghiệm \(x \in [0; 4]\) thỏa mãn\(2x^2\le6m-m^2\)

mà điều này luôn đúng khi \(6m - m^2 \ge 0\) (vì khi đó x = 0 luôn thỏa mãn).

Do đó, điều kiện từ trường hợp này là: 0<=m<=6

TH2: x<0

(2) sẽ trở thành: \(x^2-3\cdot\left(-x\right)\cdot{}x-m^2+6m\ge0\)

=>\(4x^2\ge m^2-6m\)

\(4x^2\ge0\forall x\)

=>Nếu \(m^2-6m\le0\) thì bất phương trình luôn đúng với mọi x<0

=>m(m-6)<=0

=>0<=m<=6