a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc BOM

=>\(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>OC\(\perp\)OD

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

\(\dfrac{AC^2+BD^2}{CD^2}\)

\(=\dfrac{AC^2+\left(3AC\right)^2}{\left(CM+MD\right)^2}\)

\(=\dfrac{10AC^2}{\left(CA+BD\right)^2}\)

\(=\dfrac{10AC^2}{\left(AC+3AC\right)^2}=\dfrac{10}{4^2}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}\)

từ MC.MD= OM^2 sao có đc AC^2 + BD^2 / CD^2 vậy bạn

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

Gọi N là trung điểm của CD

=>N là tâm đường tròn đường kính CD

Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó; OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>2*\(\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

Xét hình thang ACDB có

N,O lần lượt là trung điểm cua CD,AB

=>NO là đường trung bình của hình thang ACDB

=>NO//AC//BD

NO//AC

AC⊥BA

Do đó: NO⊥AB

Xét (N) có

NO là bán kính

AB⊥NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến tại O của (N)

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

a: Gọi H là trung điểm của CD

=>H là tâm đường tròn đường kính CD

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

ta có: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

hay O nằm trên (H)

Xét hình thang ABDC có

O,H lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OH là đường trung bình của hình thang ABDC

=>OH//AC//BD và \(OH=\frac{AC+BD}{2}\)

ta có: OH//AC
CA⊥AB

Do đó: OH⊥AB

=>(H) tiếp xúc với AB tại O

b: \(C_{ABDC}=AC+CD+DB+AB\)

=CM+CD+DM+AB

=CD+CD+AB

=2CD+AB

Kẻ CK⊥BD tại K

=>CK<=CD

CK⊥BD

AB⊥BD

Do đó: CK//AB

Xét tứ giác ABKC có

KC//AB

AC//BK

Do đó: ABKC là hình bình hành

=>KC=AB=2R

Để chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất thì 2CD+AB nhỏ nhất

mà AB cố định

nên 2CD nhỏ nhất

=>CD nhỏ nhất

mà CD<=CK=2R

nên CD nhỏ nhất khi CD=2R

mà OM=R

nên OM=1/2CD

ΔCOD vuông tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên \(OH=\frac12CD\)

=>OM=OH

=>M trùng với H

=>MO⊥AB tại O

=>M là điểm chính giữa của cung AB

c: \(C_{ABDC}=2CD+AB\)

=>2CD+4=14

=>2CD=10

=>CD=5(cm)

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF

Bổ sung đề: N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB

Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Xét ΔNCA và ΔNBD có

\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, CA//BD)

\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNCA~ΔNBD

=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

Xét ΔCBD có \(\frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)

nên MN//BD

=>MN//AC

=>MH//AC

Gọi K là giao điểm của BM và AC

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥MB tại M

=>AM⊥MK tại M

=>ΔAMK vuông tại M

Ta có; \(\hat{CAM}+\hat{CKM}=90^0\) (ΔAMK vuông tại M)

\(\hat{CMA}+\hat{CMK}=\hat{AMK}=90^0\)

mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\)

nên \(\hat{CKM}=\hat{CMK}\)

=>CK=CM

mà CA=CM

nên CK=CA(1)

Xét ΔBAC có NH//AC

nên \(\frac{NH}{AC}=\frac{BN}{BC}\) (2)

Xét ΔBCK có MN//CK

nên \(\frac{MN}{CK}=\frac{BN}{BC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra NH=MN

a: Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DA là tiếp tuyến

Do đó: OD là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có 

EM là tiếp tuyến

EB là tiếp tuyến

Do đó: OE là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔDOE vuông tại O