Ta có: \(f\left(x_1\right)=g\left(x_1\right)\)

=>\(x_1^2+a\cdot x_1+b=x_1^2+c\cdot x_1+d\)

=>\(\left(a-c\right)\cdot x_1+b-d=0\) (1)

Ta có: \(f\left(x_2\right)=g\left(x_2\right)\)

=>\(x_2^2+a\cdot x_2+b=x_2^2+c\cdot x_2+d\)

=>\(\left(a-c\right)\cdot x_2+b-d=0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra a-c=0

=>a=c

=>\(f\left(x\right)=x^2+a\cdot x+b;g\left(x\right)=x^2+a\cdot x+d\)

f(x)=g(x)

=>b=d

Có thể nghịch suy để chọn hàm làm trắc nghiệm

Do \(x_2=\dfrac{x_3-x_1}{2}=1\) nên hàm có dạng: \(y=a\left(x-1\right)^4-b\left(x-1\right)^2+c\) với a;b;c dương

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\left(x-1\right)^2=\dfrac{b}{2a}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_1;x_3\) thỏa mãn \(\left(x-1\right)^2=\dfrac{b}{2a}\) và \(f\left(x_2\right)=c\)

\(f\left(x_1\right)+f\left(x_3\right)+\dfrac{2}{3}f\left(x_2\right)=0\Leftrightarrow2f\left(x_1\right)+\dfrac{2}{3}f\left(x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a.\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-b\left(\dfrac{b}{2a}\right)+c+\dfrac{c}{3}=0\Rightarrow-\dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4c}{3}=0\)

Tới đây chọn \(a=3;c=1;b=4\) được hàm \(f\left(x\right)=3\left(x-1\right)^4-4\left(x-1\right)^2+1\)

Dễ dàng tính ra \(x_3=1+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\) ; \(x_0=1+\sqrt{\dfrac{1}{3}}\) (với \(x_0\) là giao bên phải của đồ thị và trục hoành); \(f\left(x_1\right)=f\left(x_3\right)=-\dfrac{1}{3}\)

\(S_1+S_2=\int\limits^{x_0}_1f\left(x\right)dx-\int\limits^{x_3}_{x_0}f\left(x\right)dx\approx0,41\)

\(\dfrac{S_1+S_2}{S_3+S_4}=\dfrac{0,41}{\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(x_3-1\right)-0,41}\approx0,6\)