1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD

1: Xét tứ giác OAMB có \(\hat{OAM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn

Tâm I là trung điểm của OM

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥CD tại H

=>ΔOHM vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính OM

=>H nằm trên (I)

1: Xét tứ giác OAMB có \(\hat{OAM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

=>O,A,M,B cùng thuộc một đường tròn

Tâm I là trung điểm của OM

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥CD tại H

=>ΔOHM vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính OM

=>H nằm trên (I)

Sửa đề: A là điểm chính giữa của cung BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>AB⊥CA

mà AB//CD(ABCD là hình bình hành)

nên CA⊥CD

Xét tứ giác AHCD có \(\hat{AHD}=\hat{ACD}=90^0\)

nên AHCD là tứ giác nội tiếp

b: Sửa đề: \(\hat{AOE}=2\cdot\hat{CAH}\)

Xét (O) có \(\hat{ABE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

=>\(\hat{AOE}=2\cdot\hat{ABE}\)

mà \(\hat{ABE}=\hat{CDE}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{AOE}=2\cdot\hat{CDE}\)

mà \(\hat{CDE}=\hat{CAH}\) (AHCD nội tiếp)

nên \(\hat{AOE}=2\cdot\hat{CAH}\)

a: Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBP vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOM}=\hat{BOP}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAM=ΔOBP

=>AM=BP và OM=OP

OM=OP

=>O là trung điểm của MP

Xét ΔDOM vuông tại O và ΔDOP vuông tại O có

DO chung

OM=OP

Do đó: ΔDOM=ΔDOP

=>DM=DP và \(\hat{MDO}=\hat{PDO}\)

Xét ΔDMP có DM=DP

nên ΔDMP cân tại D

b: Xét ΔDIO vuông tại I và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{IDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDIO=ΔDBO

=>OI=OB

=>OI=R

=>I∈(O)

Xét (O) có

OI là bán kính

DM⊥OI tại I

Do đó: DM là tiếp tuyến tại I của (O)

c:

Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOIM vuông tại I có

OM chung

OA=OI

Do đó: ΔOAM=ΔOIM

=>MA=MI

Xét ΔODP vuông tại O có OB là đường cao

nên \(BD\cdot BP=OB^2\)

=>\(DI\cdot IM=OI^2\)

=>\(AM\cdot BD=OI^2=R^2\) không đổi

\(\text{a) Xét tứ giác ADMO có:}\)

∠DMO =90o (do M là tiếp tuyến của (O))

∠DAO =90o (do AD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠DMO + ∠DAO = 180o

=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.

\(\text{b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM}\)

=>(AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOM

Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM

=> ∠ABM = \(\frac{1}{2}\)∠AOM

=> ∠AOD = ∠ABM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> OD // BM

Xét tam giác ABN có:

OM// BM; O là trung điểm của AB

=> D là trung điểm của AN

c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB

=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)

ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90o

=>OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = \(\frac{OA}{3}\)

Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\\\widehat{IBA}+\widehat{INA}=90^0\\\widehat{NAI}+\widehat{IAB}=\widehat{NAB}=90^0\end{cases}}\)

=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

=> IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

=> J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có:

\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow\text{JE}\text{//}OI\)

=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.

Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d

Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}\)

\(\text{MÀ}\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{2}{3}\)

AI là trung tuyến của tam giác NAB

=> J' là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.

HÌNH Ở TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥PB tại C

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD⊥PA tại D

Xét tứ giác PCHD có \(\hat{PCH}+\hat{PDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên PCHD là tứ giác nội tiếp

b:Xét (O) có

\(\hat{DHC}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung DC và AB

=>\(\hat{DHC}=\frac12\left(\hat{DOC}+\hat{AOB}\right)=\frac12\left(90^0+180^0\right)=\frac12\cdot270^0=135^0\)

PDHC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DPC}+\hat{DHC}=180^0\)

=>\(\hat{DPC}=180^0-135^0=45^0\)

c: Xét ΔPAB có

AC,BD là các đường cao

AC cắt BD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔPAB

=>PH⊥AB tại K

Xét ΔPCH vuông tại C và ΔPKB vuông tại K có

\(\hat{CPH}\) chung

Do đó: ΔPCH~ΔPKB

=>\(\frac{PC}{PK}=\frac{PH}{PB}\)

=>\(PC\cdot PB=PH\cdot PK\)