c) Đường thẳng d có vecto pháp tuyến là n→(1;-2) nên 1 vecto chỉ phương của d là(2; 1)

=> Vecto v→ không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng d

=> Qua phép tịnh tiến v→ biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d.

Nên đường thẳng d’ có dạng : x- 2y + m= 0

Lại có B(-1; 1) d nên B’(-2;3) d’

Thay tọa độ điểm B’ vào phương trình d’ ta được:

-2 -2.3 +m =0 ⇔ m= 8

Vậy phương trình đường thẳng d’ là:x- 2y + 8 = 0

Gọi d 1 là ảnh của d qua phép quay tâm 0 góc 90 o . Vì d chứa tâm quay O nên d 1 cũng chứa O. Ngoài ra  d 1  vuông góc với d nên d 1 có phương trinh: 9x + 2y = 0.

Gọi d' là ảnh của  d 1 qua phép tịnh tiến vectơ v. Khi đó phương trình của d' có dạng x + 2y + C = 0. Vì d' chứa O′(3;1) là ảnh của O qua phép tịnh tiến vectơ v nên 3 + 2 + C = 0 từ đó C = -5. Vậy phương trình của d' là x + 2y – 5 = 0.

a: Gọi M' là ảnh của M(3;5) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

Tọa độ M' là: \(\begin{cases}x_{M^{\prime}}=3+2=5\\ y_{M^{\prime}}=5+1=6\end{cases}\)

=>M'(5;6)

Gọi d' là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

(d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

=>(d'): 3x+2y+c=0

Lấy A(2;-1) thuộc (d)

=>ảnh A'(x;y) của A(2;-1) qua phép tịnh tiến theo vecto u=(2;1) sẽ thuộc (d')

Tọa độ ảnh A' là:

\(\begin{cases}x=2+2=4\\ y=-1+1=0\end{cases}\)

Thay x=4 và y=0 vào (d'), ta được:

3*4+2*0+c=0

=>c+12=0

=>c=-12

=>(d'): 3x+2y-12=0

b: (C): \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2+4y+4-9=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)

=>Bán kính là R=3; tâm là I(1;-2)

Tọa độ tâm I' của (C') là:

\(\begin{cases}x_{I^{\prime}}=-y_{I}=2\\ y_{I^{\prime}}=x_{I}=1\end{cases}\)

=>I'(2;1)

(C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>R'=R=3

Phương trình (C') là:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=3^2=9\)

Do d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(\Rightarrow\) d' cùng phương d

Phương trình d' có dạng: \(2x-y+c=0\)

Lấy \(A\left(0;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=0+2=2\\y'=-1+\left(-1\right)=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A'\left(2;-2\right)\)

Thế vào pt d':

\(2.2-\left(-2\right)+c=0\Rightarrow c=-6\)

Vậy pt d' là: \(2x-y-6=0\)

Lấy điểm A bất kì.

Gọi B = Đd (A) ; C = Đd’(B).

Gọi H, K là giao điểm của AB với d và d’ như hình vẽ.

Ta có:

Mà d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ 

⇒ C là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vec tơ v→

a, Gọi M(3 ; 6) ∈ d. Gọi \(T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M'\) 

⇒ \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}=\left(4;-3\right)\)

⇒ M' (7 ; 3)

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d'\) ⇒ d' // d và d' đi qua M' (7 ; 3)

⇒ d' : 2x - 3y - 5 = 0

b, làm tương tự 

Đáp án B

Độ dài véc tơ v →  bé nhất đúng bằng khoảng cách h giữa d và d' . h chính là khoảng cách từ M ∈ d  tới N ∈ d ' sao cho M N → ⊥ u → 4 ; − 3 trong đó u → là VTCP của cả d và d' .Và khi đó:  v → = M N →

Chọn M − 3 ; 2 ∈ d . Ta cần tìm N t ; − 6 − 3 t 4 ∈ d ' sao cho:

M N → t + 3 ; − 14 − 3 t 4 ⊥ u → 4 ; − 3

⇔ 4 t + 12 + 42 + 9 t 4 = 0 ⇔ t = − 18 5

⇒ M N → = − 3 5 ; − 4 5