Ta có:

= (theo gt).

= ( vì MN // BC)

Suy ra = , do đó =

Vậy ∆SMC là tam giác cân, suy ra SM = SC

Chứng minh tương tự ta cũng có ∆SAN cân , SN = SA.

a: OH+OB=BH

=>BH=9+15=24(cm)

ΔOHC vuông tại H

=>\(OH^2+HC^2=OC^2\)

=>\(HC^2=OC^2-OH^2=15^2-9^2=144\)

=>HC=12(cm)

ΔHCB vuông tại H

=>\(HC^2+HB^2=CB^2\)

=>\(BC^2=12^2+24^2=144+576=720\)

=>\(BC=12\sqrt5\) (cm)

b: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác ACED có

H là trung điểm chung của AE và CD

=>ACED là hình bình hành

=>AC//ED

mà AC⊥CB

nên ED⊥CB tại I

=>ΔIEB vuông tại I

=>I nằm trên (O')

1) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O,có H là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\) mà \(\angle OMA=90\Rightarrow OMAH\) nội tiếp

2) Ta có: \(\Delta AMO\) vuông tại M có \(AO\bot MI\Rightarrow AM^2=AI.AO\)

1.

Theo giả thiết: \(H\) là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\perp BC\Leftrightarrow\widehat{OHA}=90^o\)

Lại có: \(AM\perp OM\Leftrightarrow\widehat{OMA}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OHA}+\widehat{OMA}=180^o\)

\(\Rightarrow AMOH\) nội tiếp 

Hay \(A,M,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính OA

1: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥BC tại H

Xét tứ giác AMON có \(\hat{AMO}+\hat{ANO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMON là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AHON có \(\hat{AHO}+\hat{ANO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHON là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA⊥MN tại I và I là trung điểm của MN

Xét ΔAMO vuông tại M có MI là đường cao

nên \(AI\cdot AO=AM^2\)

a: ΔOBC cân tại O

mà OH là trung tuyến

nên OH vuông góc BC

góc OHA+góc ONA=180 độ

=>OHAN nội tiếp

góc OMA+góc ONA=90+90=180 độ

=>OMAN nội tiếp

b: Xét ΔAMB và ΔACM có

góc AMB=góc ACM

góc BAM chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔACM

=>AM/AC=AB/AM

=>AM^2=AB*AC

bài đầy đủ đây bạn nhé

https://www.youtube.com/watch?v=DiI4Jz-LYQ4

Gọi H là giao điểm của BC và OA

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của OA

ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét tứ giác OBAC có

H là trung điểm chung của BC và OA

=>OBAC là hình bình hành

Hình bình hành OBAC có OB=OC

nên OBAC là hình thoi

=>OB=BA=AC=OC=12cm

Xét ΔOAB có OA=OB=AB=12cm

nên ΔOAB đều

ΔOAB đều có BH là đường cao

nên \(BH=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\) (cm)

H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=2\cdot6\sqrt3=12\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

Kiến thức áp dụng

a: BC//AD
=>\(\hat{CBA}+\hat{BAD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)(1)

ABCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{CBA}+\hat{CDA}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\)

Xét hình thang ABCD có \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\)

nên ABCD là hình thang cân

b: Xét (O) có

BC,AD là các dây

BC//AD

Do đó: Sđ cung AB=sđ cung CD

Xét (O) có \(\hat{BMA}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BA và CD

=>\(\hat{BMA}=\frac12\) (sđ cung BA+sđ cung CD)

=1/2(sđ cung BA+sđ cung BA)

=sđ cung BA

=\(\hat{BOA}\)

=>BMOA là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔBCA và ΔCBD có

BC chung

CA=BD

BA=CD

Do đó: ΔBCA=ΔCBD

=>\(\hat{BCA}=\hat{CBD}\)

=>\(\hat{MBC}=\hat{MCB}\)

=>ΔMBC cân tại M

=>MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM⊥BC