a: Gọi A(x;y) là ảnh của M(1;-2) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của AM

=>\(\begin{cases}x+1=2\cdot\left(-3\right)=-6\\ y-2=2\cdot1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-7\\ y=4\end{cases}\)

=>A(-7;4)

b: Gọi (d): ax+by+c=0 là ảnh của Δ: 2x+y-1=0 qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

Lấy A(x;y) thuộc (d)

Gọi B(x';y') là ảnh của A(x;y) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của AB

=>\(\begin{cases}x^{\prime}+x=2\cdot\left(-3\right)=-6\\ y^{\prime}+y=2\cdot1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-6-x^{\prime}\\ y=2-y^{\prime}\end{cases}\)

Thay x=-6-x' và y=2-y' vào Δ, ta được:

2(-6-x')+(2-y')-1=0

=>-12-2x'+2-y'-1=0

=>-2x'-y'-11=0

=>(d): 2x+y+11=0

c: (C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\)

=>Tâm là A(2;-3) và bán kính là R=3
Gọi A'(x;y) là ảnh của A(2;-3) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của A'A

=>x+2=2*(-3)=-6 và y+(-3)=2*1=2

=>x=-8 và y=5

Phương trình (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(-3;1) là:

\(\left\lbrack x-\left(-8\right)\right\rbrack^2+\left(y-5\right)^2=R^2\)

=>\(\left(x+8\right)^2+\left(y-5\right)^2=9\)

Gọi A(1;1) thuộc (d) và B(2;0) thuộc (d)

Gọi A'(x;y) là ảnh của A(1;1) qua phép quay tâm O, góc quay 45 độ

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}x=1\cdot cos45-1\cdot\sin45=0\\ y=1\cdot\sin45+1\cdot cos45=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\end{cases}\)

=>\(A^{\prime}\left(0;\sqrt2\right)\)

Gọi B'(x;y) là ảnh của B(2;0) qua phép quay tâm O, góc quay 45 độ

Tọa độ B' là:

\(\begin{cases}x=2\cdot cos45-0\cdot\sin45=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\\ y=2\cdot\sin45+0\cdot cos45=\sqrt2\end{cases}\)

=>\(B^{\prime}\left(\sqrt2;\sqrt2\right)\)

\(\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}=\left(\sqrt2-0;\sqrt2-\sqrt2\right)=\left(\sqrt2;0\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là \(\left(0;-\sqrt2\right)\)

Phương trình A'B' là:

\(0\left(x-\sqrt2\right)+\sqrt2\left(y-\sqrt2\right)=0\)

=>\(\sqrt2\left(y-\sqrt2\right)=0\)

=>\(y-\sqrt2=0\)

=>\(y=\sqrt2\)

Do d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(\Rightarrow\) d' cùng phương d

Phương trình d' có dạng: \(2x-y+c=0\)

Lấy \(A\left(0;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

\(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=0+2=2\\y'=-1+\left(-1\right)=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A'\left(2;-2\right)\)

Thế vào pt d':

\(2.2-\left(-2\right)+c=0\Rightarrow c=-6\)

Vậy pt d' là: \(2x-y-6=0\)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(3;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x=y_{A}=\left(-1\right)\\ y=-x_{A}=-3\end{cases}\)

=>A'(-1;-3)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): x-y+c=0

lấy B(2;-1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B(2;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x=y_{B}=-1\\ y=-x_{B}=-2\end{cases}\)

Thay x=-1 và y=-2 vào (d1), ta được:

-1-(-2)+c=0

=>-1+2+c=0

=>c+1=0

=>c=-1

=>(d1): x-y-1=0

(C): \(x^2+y^2+2x-3y-1=0\)

=>\(x^2+2x+1+y^2-3y+\frac94-\frac{13}{4}-1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{17}{4}\)

=>Tâm là I(-1;3/2); bán kính là \(R=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

Gọi I' là tâm của (C')

=>I'(x;y) là ảnh của I(-1;3/2) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Tọa độ I' là:

\(\begin{cases}x=-y_{I}=-\frac32\\ y=x_{I}=-1\end{cases}\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+\frac32\right)^2+\left(y+1\right)^2=R^2=\frac{17}{4}\)

a: (d') là ảnh của (d) qua phép vị tự tâm I(3;-1), tỉ số k=-3

=>(d')//(d)

=>(d'): 3x-y+c=0

Lấy A(1;8) thuộc (d')

Lấy A'(x;y) là ảnh của A(1;8) qua phép vị tự tâm I(3;-1), tỉ số k=-3

I(3;-1); A(1;8) ; A'(x;y)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1-3;8+1\right)=\left(-2;9\right)\)

\(\overrightarrow{IA^{\prime}}=\left(x-3;y+1\right)\)

A'(x;y) là ảnh của A(1;8) qua phép vị tự tâm I(3;-1), tỉ số k=-3

=>\(\overrightarrow{IA^{\prime}}=-3\cdot\overrightarrow{IA}\)

=>x-3=-3*(-2)=6 và y+1=-3*9=-27

=>x=9 và y=-28

=>A'(9;-28)

Thay x=9 và y=-28 vào (d'), ta được:

3*9-(-28)+c=0

=>27+28+c=0

=>c=-55

=>(d'): 3x-y-55=0

b: (C): \(x^2+y^2-4x-4y-1=0\)

=>\(x^2-4x+4+y^2-4y+4-9=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=9\)

=>Tâm là B(2;2) và bán kính là \(R=\sqrt9=3\)

Gọi B'(x;y) là tâm của (C')

=>B'(x;y) là ảnh của B(2;2) qua phép vị tự tâm I(3;-1), tỉ số k=-3

=>\(\overrightarrow{IB^{\prime}}=-3\cdot\overrightarrow{IB}\)

I(3;-1); B(2;2); B'(x;y)

\(\overrightarrow{IB}=\left(2-3;2+1\right)=\left(-1;3\right)\)

\(\overrightarrow{IB^{\prime}}=\left(x-3;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{IB^{\prime}}=-3\cdot\overrightarrow{IB}\)

=>x-3=-3*(-1) và y+1=-3*3

=>x-3=3 và y+1=-9

=>x=6 và y=-10

=>B'(6;-10)

Bán kính của (C') là:

\(R^{\prime}=R\cdot\left|k\right|=3\cdot3=9\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x-6\right)^2+\left(y+10\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=9^2=81\)

a: Ảnh của A(-2;3) qua phép quay tâm O, góc quay pi/2 là:

\(\begin{cases}x=-y_{A}=-3\\ y=x_{A}=-2\end{cases}\)

b: (d') là ảnh của (d) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d')⊥(d)

=>(d'): x+2y+c=0

Lấy B(1;5) thuộc (d)

Tọa độ B'(x;y) là ảnh của B(1;5) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x=y_{B}=5\\ y=-x_{B}=-1\end{cases}\)

Thay x=5 và y=-1 vào (d'), ta được:

5+2*(-1)+c=0

=>c+3=0

=>c=-3

=>(d'): x+2y-3=0