11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

Bài 12.

Ta xét số dư của $n$ khi chia cho 4 (vì lũy thừa của các số 2, 3, 4 khi chia cho 5 có tính chất chu kỳ lặp lại theo chu kỳ 4).

Đặt $n = 4k + r$ với $k \in \mathbb{N}$ và $r \in \{0; 1; 2; 3\}$.

Ta xét các trường hợp của $r$:

Trường hợp 1: $r = 0 \Rightarrow n = 4k$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \pmod 5$ (Không chia hết cho 5).

- $1^n = 1^{4k} \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k} = 16^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k} = 81^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k} = 256^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 5$

Trường hợp 2: $r = 1 \Rightarrow n = 4k + 1$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+1} = 2^{4k} \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+1} = 3^{4k} \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+1} = 4^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Trường hợp 3: $r = 2 \Rightarrow n = 4k + 2$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 4 + 4 + 1 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+2} = 2^{4k} \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+2} = 3^{4k} \cdot 9 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+2} = 4^{4k} \cdot 16 \equiv 1 \cdot 1 = 1 \pmod 5$

Trường hợp 4: $r = 3 \Rightarrow n = 4k + 3$ ($k \in \mathbb{N}$)

$\Rightarrow A \equiv 1 + 3 + 2 + 4 = 10 \equiv 0 \pmod 5$ (Chia hết cho 5).

- $1^n \equiv 1 \pmod 5$

- $2^n = 2^{4k+3} = 2^{4k} \cdot 8 \equiv 1 \cdot 3 = 3 \pmod 5$

- $3^n = 3^{4k+3} = 3^{4k} \cdot 27 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod 5$

- $4^n = 4^{4k+3} = 4^{4k} \cdot 64 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod 5$

Để $1^n + 2^n + 3^n + 4^n \vdots 5$ thì $n$ là các số tự nhiên không chia hết cho 4 (tức $n \not\vdots 4$).

\(3n+1⋮11-2n\)

\(\Rightarrow2\times(3n+1)⋮11-2n\)

\(\Rightarrow6n+2⋮11-2n\)

\(\Rightarrow6n+2⋮-(11-2n)\)

\(\Rightarrow6n+2⋮2n-11\)

\(\Rightarrow(6n-33)+35⋮2n-11\)

\(\Rightarrow35⋮2n-11(6n-33⋮2n-11)\)

\(\Rightarrow2n-11\inƯ(35)=\left\{-35;-7;-5;-1;1;5;7;35\right\}\)

a, Để \(n\in N\)

\(3n+1⋮11-2n\)

\(\Rightarrow6n+2⋮11-2n\)

Ta có\(3.\left(11-2n\right)⋮2n\)

Vì  \(11-2n⋮11-2n\)

\(33-6n⋮11-2n\)

\(6n+2+33-6n⋮11-2n\)

\(35⋮11-2n\)

\(\Rightarrow11-2n\inƯ\left(35\right)=\left\{\mp1;\mp5;\mp7;\mp35\right\}\)

Ta có bảng 

phần b có gì sai sót ai đó sửa dùm ^^

1) 2n+7=2(n+1)+5

để 2n+7 chia hết cho n+1 thì 5 phải chia hết cho n+1

=> n+1\(\in\) Ư(5) => n\(\in\){...............}

bạn tự tìm n vì mình chưa biết bạn có học số âm hay chưa

Từ bài 2-> 4 áp dụng như bài 1

Ta có 2n+7=2(n+1)+5

Vì 2(n+1

Do đó 2n + 7=2(n+1)+5 khi 5 chí hết cho n +1

Suy ra n+1 "thuộc tập hợp" Ư (5) = {1;5}

Lập bảng n+1 I 1 I 5

                  n   I 0 I 4

Vậy n "thuộc tập hợp" {0;4}

mn mn ơiii

helllppppppppp

1) 3n ⋮ 2n - 5

=> 2(3n) - 3(2n - 5)  ⋮ 2n - 5

=> 6n - 6n + 15 ⋮ 2n - 5

=> 15 ⋮ 2n - 5

=> 2n-5 ϵ Ư(15)

Ư(15) = {1;-1;3;-3;5;-5;15;-15}

=> n={3;2;4 ;1;5;0;10;-5}

nhớ nha

a. 2n + 5 chia hết cho n - 4

(2n + 5) ⋮ (n - 4)

[2(n - 4) + 13] ⋮ (n - 4)

13 ⋮ (n -4)

(n - 4) ∈ Ư(13) ={-13; -1; 1; 13}

n ∈ {-9; 3; 5; 17}

Vậy n ∈ {3; 5; 17}

b. 3n - 1 chia hết cho 2n + 3

(3n - 1) ⋮ (2n + 3)

(6n - 2) ⋮ (2n + 3)

[3(2n -1) + 1] ⋮ (2n + 3)

1 ⋮ (2n + 3)

(2n + 3) ∈ Ư(1) = {-1; 1}

n ∈ {-2; -1}

Vì n là số tự nhiên nên n ∈ ∅

Vậy n ∈ ∅