Gọi P(x),R(x) lần lượt là thương và dư khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+R\left(x\right)\)

Khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) sẽ được dư là một đa thức bậc hai

=>Dư là \(R\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

f(x) chia x+1 dư 4 nên f(-1)=4

Thay x=-1 vào f(x), ta được:

\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)\left\lbrack\left(-1\right)^2+1\right\rbrack\cdot P\left(x\right)+a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c\)

=>a-b+c=4

Ta có: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+a+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left\lbrack\left(x+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\right\rbrack+bx+c-a\)

f(x) chia \(x^2+1\) dư 2x+3 nên bx+c-a=2x+3

=>b=2; c-a=3

a-b+c=4

=>a+c=4+b=4+2=6

mà c-a=3

nên \(c=\frac{3+6}{2}=4,5;a=4,5-3=1,5\)

Vậy: Đa thức dư là \(R\left(x\right)=1,5x^2+2x+4,5\)

bạn cho mình biết cách mà bạn tìm ra a đc ko 

Rõ ràng đa thức \(x^3-1\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1\).

Ta tách: \(x^9+x^6+x^3+1=\left(x^9-1\right)+\left(x^6-1\right)+\left(x^3-1\right)+4=\left(x^3-1\right)\left(x^6+x^3+1\right)+\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)+\left(x^3-1\right)+4\).

Từ đây suy ra đa thức đó chia cho đa thức \(x^2+x+1\) được đa thức dư là 4.

Không chia có mà làm=niềm tin ah

a: \(A\left(x\right)=x^3-9x^2+27x-27=\left(x-3\right)^3\)

=>\(A\left(1\right)=\left(1-3\right)^3=\left(-2\right)^3=-8\)

b: \(\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{2x^3+x^2-x+a}{x-2}\)

\(=\frac{2x^3-4x^2+5x^2-10x+9x-18+a+18}{x-2}=2x^2+5x+9+\frac{a+18}{x-2}\)

=>Thương là \(2x^2+5x+9\) và dư là a+18

A(x) chia cho B(x) có số dư bằng 2. Vậy m – 5 = 2 ⇒ m = 7.

a) A = ( x 2 – 6x)B.

b) A = (-x – 8)B + 2

c) A = (x + 3)B + 6.

Bài 4:"

a: Ta có: \(\hat{ADM}=\hat{CDM}=\frac12\cdot\hat{ADC}\) (DM là phân giác của góc ADC)

\(\hat{ABN}=\hat{CBN}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BN là phân giác của góc ABC)

mà \(\hat{ADC}=\hat{ABC}\) (ABCD là hình bình hành)

nên \(\hat{ADM}=\hat{CDM}=\hat{CBN}=\hat{ABN}\)

Xét ΔADM và ΔCBN có

\(\hat{ADM}=\hat{CBN}\)

AD=CB

\(\hat{DAM}=\hat{BCN}\)

Do đó: ΔADM=ΔCBN

=>AM=CN

b: AM+MB=AB

CN+ND=CD
mà AM=CN và AB=CD

nên BM=DN

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

c: MH⊥BN

BN//DM

Do đó: MH⊥MD

Xét tứ giác MKNH có \(\hat{MKN}=\hat{MHN}=\hat{HMK}=90^0\)

nên MKNH là hình chữ nhật

=>MN cắt KH tại trung điểm của mỗi đường(1)

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,MN,KH đồng quy

Bài 3:

a: \(A\left(x\right)=x^3-9x^2+27x-27=\left(x-3\right)^3\)

=>\(A\left(1\right)=\left(1-3\right)^3=\left(-2\right)^3=-8\)

b: \(\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=\frac{2x^3+x^2-x+a}{x-2}\)

\(=\frac{2x^3-4x^2+5x^2-10x+9x-18+a+18}{x-2}=2x^2+5x+9+\frac{a+18}{x-2}\)

=>Thương là \(2x^2+5x+9\) và dư là a+18

Ta có

Phần dư của phép chia trên là R = (a + 4)x + b

Theo bài ra ta có (a + 4)x + b = 2x – 3 ó   a + 4 = 2 b = - 3 ó  a = - 2 b = - 3

Vậy giá trị của a và b thỏa mãn điều kiện đề bài là a = -2; b = -3

Đáp án cần chọn là: D

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)